1914- No. 12. U.NE MÉTHODE ÉNUMÉRATIVE DE LA GÉOMÉTRIE. I3 



et le nombre de rebroussements d'une courbe algébrique. Comme les 

 conditions auxquelles ces nombres sont ici soumis consistent essentiellement 

 en certaines inégalités, on trouve cependant à priori qu'il est bien juste 

 que la proposition conserve sa validité. Il est toutefois nécessaire, pour 

 écarter tout doute, d'établir une démonstration indépendante de ladite pro- 

 position. Ceci peut se faire de la manière suivante: 



Au lieu de ///, ;/, 5, comme variables indépendantes, nous introduisons 

 trois autres nombres, .v, y, z, définis par les équations 



.V == ;;/ — )i 

 2y = Il — 3s 



Nous écrivons iV =/(;;/, //, 5) = rp {x,y, 2). 



Il est alors évident que, pour toute courbe algébrique quelconque, .v, v 

 et z seront également des nombres entiers; car /i — Ss est toujours un 

 nombre pair, comme le montre la formule de Plücker 



/i = /;/ [iH — 1) — 2(/ — 35, 



où (i est le nombre de points doubles. Par contre, il n'est pas nécessaire 

 que .V ou y soient positifs. 



Pour une ligne droite, ;;/ ^ 1, ;/ = 0, s = 0, d'oii .v = 1, v = 0, z =0. 

 Pour une section conique ;;; ^2, n = 2, 5 = 0, d'où .v = 0, jy = 1, z = 0. 

 Pour une courbe du 3e ordre avec rebroussement, ni=o, n = 3, 5=1, 

 d'où .V = 0, V = 0, ^ = 1. 



Admettons d'abord que la courbe considérée est telle que chacun des 

 nombres est positif ou zéro. Si nous remplaçons alors la courbe donnée 

 par une figure algébrique qui consiste en .v lignes droites, y sections 

 coniques, et en z courbes du 3e degré avec rebroussement, on remarquera 

 que les nombres .v, y, z ont la même valeur pour cette figure que pour la 

 courbe donnée, et par conséquent, le nombre A' sera le même pour cette 

 figure que pour la courbe donnée. Or l'emploi réitéré de l'équation fonc- 

 tionelle 



r/)(-Vi + x.^,y^ +y.,, z^ .-\- øo) = -yr (.vi,^i, ^i) + (p [-^'i, y-i, ^2) 



donnera évidemment pour résultat que 



A^ = rp {x,y, z) = (p (1, 0, 0) .v -f cp {0, \,0)y ^ cp (0, 0, 1) z. 



On aura ainsi démontré que A^ est une fonction linéaire homogène de 

 .V, y et z, dans tous les cas où .v et y sont tous deux positifs. 



Supposons maintenant que y est, il est vrai, positif pour la courbe 

 considérée; mais que .v est négatif = — .v'. Nous pouvons alors ajouter 



