14 KR. BIRKELAND ET TH. SKOLEM. M.-N. Kl. 



à la courbe donnée .v' lignes droites; nous obtenons ainsi une courbe 

 composée, pour laquelle le nombre x est = 0, tandis que y et z ont les 

 mêmes valeurs que pour la courbe donnée. Il en résulte que 



rp{0,y, z.) = cp{\, 0, 0)y + cp{x,y, 3), 



ou, en d'autres termes, que 



iV = rp{x,y, z) = cf{0,y, z) — cf{\,0, 0)x'. 



Or d'après ce qui vient d'être démontré, 



<r{0,y, ~) = fiO, 1, 0)^ -f rp{0, 0, 1) z, 

 et l'on obtient donc 



N =fp{\, 0, 0) .V + rp{0, 1, 0)y + rf{0, 0, 1) z. 



Nous pouvons démontrer de même que cette formule conserve sa 

 validité, lorsque y est négatif ou lorsque x et y sont tous deux négatifs. 



N est donc toujours une fonction linéaire homogène des nombres .r, 

 y et z. Or il est évident que 



<jp(l, 0,0) =/(1,0,0), ,/>(0, l,0)=/(2,2,0), r/)(0,0, l)=/(3,3, 1), 



et si l'on introduit les valeurs de .r, y, z, exprimées par ;;/, n et s, on 

 obtient: 



;V = /(1, 0, 0) m -{- (i/(2, 2, 0) -/(1. 0, 0)) ;/ -f (/(3, 3, 1) - f/(2, 2, 0))s. 



L'exactitude de la proposition se trouve ainsi démontrée. 



Naturellement il peut arriver que, dans beaucoup de cas, un problème 

 cesse d'avoir une signification pour certaines courbes spéciales, p. ex. 

 lorsqu'on a une ligne droite ou d'autres courbes spécialement simples. Si 

 l'on cherche, p. ex., le nombre d'inflexions d'une courbe, il est évident 

 que ce problème n'a aucun sens pour une ligne droite. Le nombre des 

 tangentes doubles ne signifie non plus rien pour une droite. Il peut être 

 question de savoir si la proposition précitée continue à être vraie enTde 

 tels cas. Il 'n'est guère possible de donner d'une manière absolument 

 générale une réponse à cette question, vu qu'il s'agit naturellement de 

 savoir quelles sont les courbes exceptionelles. 11 n'est cependant pas diffi- 

 cile de démontrer que la proposition- conserve sa validité, même si l'équa- 

 tion fonctionelle 



/(/«1 + lllo, //1 + II-,, Si + So) =f[lllx, III, Si) -\-f{llh, lli, So) 



