1914- '^O- ^2. UNE MÉTHODE ÉNUMÉRATIVE DE LA GÉOMÉTRIE. 



n'est pas applicable, lorsque iii^ ou ;;/o est égal à 1, ou, en d'autres termes, 



que le nombre considéré cesse d'avoir une signification, lorsque l'on a 



affaire à une ligne droite. 



En effet, on peut alors introduire 3 nombres .v, y, z, définis par les 



équations 



X = 2ni n — -^ s 



y = 6^ 



z = // — ///. 



Puisque n -\- s = m {m — 1) — 2d — 25 est toujours un nombre pair,. 

 .V, y, z seront toujours des nombres entiers. Pour une section conique, 

 ;;/ = 2, }i^^2, s ^ 0, on obtiendra .v = 1, y = 0, = 0. Pour une courbe 

 du 3e ordre avec rebroussement, ;;/ ^3, /? = 3, 5 = 1, on obtiendra .v = 0,. 

 y=\, s = 0. Pour une courbe de 3e ordre avec point double, /// = 3, 

 ;/ = 4, 5 = 0, on aura x ^0, y = Q, z=\. En procédant de la même 

 manière que ci-dessus, on peut alors démontrer que 



/K ;/, 5) =/(2, 2, 0).v +/(3, 3. 1)^ +/(3, 4, 0)5, 



ou, en introduisant les valeurs de .v, v, z, que 



/(;;/, ;/, 5) = (2/(2, 2, 0) -/(3, 4, 0));;/ -f- (- |/(2, 2, 0) + 



+/(3, 4, 0));. + (- 1/(2, 2, 0) +/(3, 3, \))s, 



de sorte que / est une fonction linéaire homogène de m, n, s, aussi dans 

 ce cas. 



Dans la plupart des problèmes de la géométrie énumérative, lesdites 

 exceptions ne se présenteront pas. 



Théorème 2. Un iio)iibre N, défini par certaines courbes Ki • •■ Kr et 

 étant une fo)iction de leurs nombres de Pliicker, et primitif par rapport à 

 chacune d'elles, peut s'exprimer ainsi: 



2y=^2^A,j...k pMpij ■ ■ ■ prk , 



lorsque pu pour i= 1,2,3 indique j des 4 nombres spéciaux de Pliicker 

 de la courbe Ky) poj pour j = 1,2,3 indique les j mêmes nombres de la 

 courbe K-i , etc. 



L'addition doit s'étendre sur toutes les combinaisons des nombres- 

 /", /, • ■ • k, chacun des nombres pouvant avoir les valeurs 1, 2, 3. 



L'exactitude de ceci est bien claire, vu que, par suite du théorème 

 précédent, N est une fonction linéaire homogène aussi bien des nombres 

 pu que p2j etc. Nous pouvons toutefois établir également une démonstration. 



