l6 KR. BIRKELAND ET TH. SKOLEM. M.-N, Kl. 



exacte. Supposons que la proposition est vraie pour les r courbes, A'i, • • • AT,-, 

 et nous allons démontrer qu'elle est vraie pour les r + 1 courbes, Ä'j, • • • AV, 



Ar + 1 . 



D'après l'hypothèse, on a alors, pour le nombre iVdesr-hl courbes, 



^' = 2j ^'J ■ ■ ■ k{pr+\,i)pupîj ■ ■ • prk , 



chaque coefficient Aij...k devant alors être une certaine fonction des 

 nombres spéciaux de Plücker ^^+1,^^= 1» 2, 3) appartenant à la courbe 

 AV+i. Le nombre A' devant toutefois être également primitif par rapport 

 à la courbe A^+i, on a 



/i A,j ... A- (pr+ 1, ;+ pr- Ij) pU pîj ' ' • prk = 

 = Zj-^O-- ■ k{pr +\,i) pu Pij • • • prk-h ^^ Aj . ■ . kipr + hl) Pu p2j ' ' ' prk 



ou 



2 {Aij...k{p/+lJ-^pr + l,l) - Aj...k{p,'^u) — 



Ay.. . k{pr + 1,l))plip2j ■ • • prk = 



pour tous les choix de pr-\-\,i et pr + \,i qui sont possibles pour les 

 courbes algébriques. Si maintenant, pour au moins un choix des nombres 

 pr+\,i et p'r'+\j , au moins une des expressions 



Aij . ..k{p/+l.t-\-pr + \,l) Aij. . . k{p/+\,l) Aij.. .k(pr + i,l) 



devenait différente de zéro, on obtiendrait évidemment une relation entre 

 les nombres de Plücker appartenant aux r courbes, A'i • • • A',-, qui se 

 trouverait être vraie pour un choix arbitraire de ces courbes. Si alors on 

 choisissait et maintenait les nombres de Plücker appartenant à A'o • • • AV, 

 il resterait une équation linéaire entre les nombres de Plücker appartenant 

 à Kl . Comme il n'est ici question que de 3 d'entre eux, p. ex. l'ordre, 

 la classe, et le nombre de rebroussements, il n'existe aucune relation de 

 ce genre. Par conséquent il faut que pour tous les choix des indices 

 i, J ■ • ■ k , 



^ij . . . kipr^ \,l + Pr + 1,/) A,j . . . k{pr+i.t) — ^0 • • • k{pr + l l) = ^, 



et qu'il en soit ainsi pour tous les choix des nombres p/+i,i et pr + ij- 

 Mais alors, d'après ce que nous avons démontré, Aij...k est une fonction 

 linéaire homogène. Il en résulte que 



A,i...k{pr-iA)= y j.Aii...k.lPr + hl, 



et qu'en introduisant cela, on obtient 



^V = ^ ^y . . . k,l pMplj • • ■ Prkpr + i,l , 



