1914- No. 12. UNE MÉTHODE ÉNUMÉRATIVE DE LA GÉOMÉTRIE. I7 



et l'on a ainsi démontré l'exactitude de la proposition pour les r -|- 1 

 courbes. La proposition est donc vraie dans toute sa généralité. 



Théorème 3. Si un nombre N est de 2^ espèce par rapport à une 

 courbe K et une fonction des nombres de Plïicker de cette courbe, de manière 

 que nous puissions poser 



ni, étant l'ordre, ;/, la classe et s, le nombre de rebroussements, la fonction f 

 est du 2« degré. 



Démonstration : Le nombre A^ étant de 2« espèce, on a l'équation 

 fonctionnelle 



/2 ('"1 4" ^^h} fh + 'h< ^\ + s-i) = 



/2 ('«l> ^'1; ^1) +/> <'"2. >hy S->) -f /1,1 ('^'l, ni, Sx ; «/9» «2) st), 



où /1,1 indique un nombre qui est primitif par rapport aussi bien à la 

 courbe avec les nombres ni^,n^,s^ qu'à la courbe avec les nombres nio, n-i, s.>. 

 Considérons maintenant une fonction gi(m,n,s), définie par l'équation 



gx (m, n, s) =/> (m, n, s) — ^/l'i ''''> "> ^'< '"> "' •^'• 



Nous obtenons alors 



^1 Uni -\- nio, ni -\- no, Si + 52) = f {nii, ni, Si) -h /2 {m-i, m, 5.^) + 



4-/1,1 ("'1, «1, Si ; m.2, ;/2, ^2) — \ (/1,1 {nii, ni, Si ; mi, ni, si ) + 



-h/i-i ("'1. 'h. Si ; nto, n-2, s.>) +/1,1 imo, n^, s^ ; nii, ni, Si ) -\- 



~t~/i>i (^h> n-i, So ; m.), no, So) ) . 



On remarque, en outre, en changeant mi,ni,Si et nio, no, So de place 

 dans l'équation fonctionnelle de fo, que 



/1,1 (ni.^,n.,,s^; m^, «,,5, ) =/1,, (w^, w^, Sj ; m,,, n^,s.^. 

 On aura par conséquent 



giim^ -h ;y/2, ;/i + «2,5i +5^)=/2 (m,, Wl,5^) — 

 — t/i'I ('^'i-'^.'^i ; "'i. "\^s^ )-\-f^{m^,n^,s.^) — \f^,,^ (m.>,n^,s^ •,m^,n^,s^) 

 = ^1 ('''1. ^hySi)-\- gx (m.^,n^,s.^). 



Or, d'après ce qui a déjà été démontré, ^1 est alors une fonction 

 linéaire homogène, g\. f^{m,n, s) se trouve exprimé ainsi: 



/._> (■;//, n, s) = \fi,x ("h n, s; m, n,s)-\- g^ (m, n, s). 



La proposition se trouve ainsi démontrée. On voit que f., est la 

 somme d'une fonction homogène du 2« degré et une fonction homogène 

 linéaire. 



Vid.-Selsk. Skrifter. I. M.-N. Kl. 1914. No. 12. 2 



