l8 KR. BIRKELAND ET TH. SKOLEM. M.-N. Kl. 



Il en résulte en outre qu'un nombre A'^ qui est primitif par rapport à 

 certaines courbes Ä', ... K^, , mais du 2^ espèce par rapport à certaines 

 autres courbes K.^' . . . Kg , doit être une fonction homogène du ler degré 

 des nombres spéciaux de Plücker appartenant aux courbes K^ . . . A',, , mais 

 une fonction du 2e degré des nombres spéciaux de Plücker appartenant 

 aux courbes äV • • • Kq , si toutefois le nombre ne dépend que des nombres 

 de Plücker. De plus, la fonction ne contient pas de membre qui soit 

 indépendant des nombres de Plücker de A'/ . . . Kq. 



Cette méthode de démonstration peut également être employée pour 

 prouver l'exactitude des propositions correspondantes concernant les nombres 

 d'espèces supérieures. Mais elle devient bientôt très compliquée pour les 

 nombres d'espèce élevée, et il vaut alors mieux procéder d'une manière un 

 peu différente. 



Théorème 4. Si nu nombre N est de l'espèce p par rapport à une 



courbe et une /onction des nombres de Plücker de cette courbe, de manière 



que nous puissions poser 



y ^fp^Jn, n,s), 



/p est une /onction du degré p. 



Démonstration : Nous pouvons d'abord considérer le cas le plus simple, 



savoir celui où le nombre N ne dépend que des nombres d'ordre et de 



classe. Np (m, n) étant un tel nombre d'espèce p, si l'on remplace la 



courbe d'ordre m et de classe n par un système de /;; lignes droites et 



de n points, Np(m,)i) se trouvera exprimé comme suit: 



P-\ 



,V,(;;/,;/) = .V,(l,Oj (7) + .V,,(0,1| (;') + V 7V,_,, „ (1,0; 1,0) (»') + 



1 



,,-1 v-\ 



+ S ^^-> '■'••^' ^'^^ ('") (") + S ^>'-r,r{^A; 0.1) a) + 

 1 1 



p-1 p-ï',-1 



+ E S , ^p— .—.,-,.-. ^l'O' 1'*^' i'*^' (3) + 



1 



+ vV,.,,i.. .!.,)( 1,0; 1,0; . . . 1,0) (»;) + .V,.!..... up)( 1,0; 1,0; ...1,0; 0,1) (;^,) (;') + 



+ ^V,., i(,„(0,l;0,l; ...; 0,1) (;;), 



lorsque les indices indiquent de quelle espèce est le nombre en question 

 N par rapport au courbes diverses dont il dépend. On trouve ce déve- 

 loppement du nombre Np (m, n) par l'emploi réitéré de l'équation fonc- 

 tionnelle 

 Np{m^ -\- ni.^, //j + '^2,' = ^V,, (;;/i, n^) -\- A^;,-i,i {m ^,11^; m.,, n.^)-\- ■ ■ • 



H- 7V:,^_i (;;/i, ;/,; m ,, n^)-^- Np(m,-,, n.,). 

 On voit alors que N est une fonction du degré p des nombres ;;/ et ;/. 



