1914- No. 12. UNE MÉTHODE ÉNUMÉRATIVE DE LA GÉOMÉTRIE. I9 



Considérons maintenant le cas où le nombre ne peut pas s'exprimer 



comme fonction de l'ordre et de la classe seulement, mais parfaitement 



comme une fonction de l'ordre, de la classe, et du nombre de rebrousse- 



ments. Nous pouvons alors introduire de nouveau les 3 nombres .v, y, z, 



définis par les équations 



X = m — ;/ 



y=z\n — \s 



s = s 

 de façon que le nombre ^V devienne une fonction fppix, y, z). Si tout 

 d'abord la courbe est telle que les nombres .v, jy et s soient tous positifs, 

 nous pourrons remplacer la courbe par un système de x lignes droites, 

 de y sections coniques, et de z courbes du 3e degré avec rebroussement. 

 Nous obtiendrons alors, par suite de l'équation fonctionnelle de çpp, que 

 (fp puisse s'exprimer comme une somme, de la façon suivante: 



fp,{x,y, z) = r/>p (1,0,0) .V + r/)p (0,1,0)^ + cp^ (0,0,1 U + 

 + y\ r/>,_,, ,(1,0,0; 1,0,0) (0 + V r/)p_,,„ (1,0,0; 0, l,Oj (|) {y) -h 



1 1 



+ 2rp_.,„fO,l,0;0,l,0)(^) + 2^r/,_,. J1,0,0;0,0,1)(^)(^) + 



;>-l p-1 



+ 2 f/>P-,,„ (0,1,0; 0,0,1) (y) (0 +y] r/,,_,, ,,(0,0,1; 0,0,1) (^) + 



1 1 



p-l p-»'l-l 



+ S s Vp-r,-r.„r„rJ^'^,^->hO,0; 1,0,0) (f)-^ 



1 "^ 1 ''^ 



+ rpr,, ,(p,fl,0,0; 1,0,0; . . .; 1,0,0)© + 



-f r/,,,....,i(p>(l,0,0; ..., 1,0,0; 0, 1, 0) (^ji^) (^) 4- 



+ r/'M.... HP, (0,0,1; 0,0,1; . . . ; 0,0, 1 ) g). 



rpp est donc une fonction du degré p en .v, y et z, en tout cas pour toutes 

 les valeurs positives de ceux-ci. Il est cependant bien clair que cette 

 fonction conserve aussi sa forme pour les valeurs négatives. Ceci peut 

 également être démontré de la manière suivante: Soient .v, _)', et z les 

 nombres appartenant à une courbe K, x ou y ou tous deux étant négatifs, 

 tandis que .v', y , z sont tous positifs et appartiennent à une autre courbe K' . 

 Le nombre appartenant à la courbe K -\~ K' pourra s'exprimer comme 

 une somme de la manière suivante: 

 rPp {K + Ä") = cp^ (K) + fpp_,^, ( Ä-, Ä") + ryn,,_,., (K, Ä") + 



+ cp,^p^,{K,K')+fpp{K'). 



