KR. BIRKELAND ET TH. SKOLEM. M.-N. Kl. 



Or rp [K -\- K') est naturellement une fonction des 3 nombres .v -f- .v', 

 y ~^y' < ^ H" ^' > ^^ sorte que le second membre de cette équation, lui aussi, 

 doit être symétrique par rapport aux deux séries de variables x, y, z et 

 x',y',z'. Mais alors rf^{K) doit provenir de fp (K'), si l'on remplace les 

 lettres marquées par les lettres non marquées. Par conséquent l'expression 

 ci-dessus de (p Ax,y, z) continue à rester exacte, même si quelques-uns des 

 nombres .v, y et z sont négatifs. 



La proposition ainsi démontrée peut aussi s'exprimer comme suit: 



Un nombre, défini par certaines courbes K^ . . . Kp et pour chaque 

 valeur de I de l'espèce //^, par rapport a la courbe K^ fl = 1,2, .... pj, est 

 une /onction du degré ;/, des nombres spéciaux de Pli'icker appartenant 

 à K,, — en supposant naturellement que le nombre ne dépende de rien 

 autre que des nombres de Plücker des courbes. 



Une remarque ayant de l'importance en ce qui concerne la classi- 

 fication, établie dans ce qui précède, des nombres géométriques, ainsi que 

 les propositions énoncées, est que, au lieu de courbes, c. à d. de systèmes 

 de points dépendants d'un paramètre, on peut considérer n'importe quels 

 autres systi'mes algébriques de figures géométriques. Pour de tels systèmes 

 quelconques, on peut établir la même classification des nombres, c. à d. 

 définir les nombres primitifs, nombres de 2^ espèce, etc. On peut en outre 

 établir des propositions analogues à celles établies ci-dessus pour les 

 courbes. L'exemple le plus simple de nombre étant toujours primitif à 

 chacun de deux systèmes donnés de figures géométriques, est le nombre 

 de figures communes. C'est ainsi que le nombre des sections coniques 

 communes à un système de sections coniques dépendant d'un paramètre 

 et à un système dépendant de quatre paramètres, est un nombre primitif 

 par rapport à chacun de ces systèmes. Ce nombre des sections coniques 

 communes se trouve être (Voir Schubert, Kalkül der abzählenden Geometrie, 

 p. 287): 



X = /it (^ u'-' /2 _ ,/4 ) _|_ ,, (,/4 _ I ,,'2 ,,'2) ^ 



OÙ 1.1 et V sont respectivement le nombre des sections coniques dépendantes 

 d'un paramètre, qui passent par un point donné, et le nombre de celles 

 qui sont en contact avec une ligne droite, tandis que /«'* et u''^v'' in- 

 diquent, pour les sections coniques dépendantes de quatre paramètres, 

 respectivement le nombre de celles qui passent par 4 points donnés, et 

 de celles qui passent par 2 points donnés et touchent 2 lignes droites 

 données. Les nombres (t,r étant, tout comme ß '^ , u - v '^ , primitifs par 

 rapport à chacun le leur de ces systèmes de sections coniques, et le 

 nombre .r l'étant également par rapport à chacun des systèmes, on aurait 



