1914- No. 12. UNE MÉTHODE ÉNLJMÉRATIVE DE LA GÉOMÉTRIE. 21 



pu prédire que .v devait être une fonction linéaire homogène autant des 

 nombres a, v que des nombres u ^ , fi- v-, à condition que l'on sût que 

 .V était une fonction de ces nombres seuls. 



§ 6. Applications des théorèmes. 



Comme l'on peut, dans chaque problème de la géométrie énumé- 

 rative, décider d'avance de quelle espèce est le nombre cherché, on peut, 

 d'après les propositions énoncées dans ce qui précède, établir la forme 

 générale du nombre. Il restera cependant toujours certains coefticients 

 que l'on devra déterminer d'autre façon. Pour en arriver à cette déter- 

 mination, il faut alors, en général, avoir recours à d'autres méthodes de la 

 géométrie enumérative ; mais on peut toujours entreprendre cette détermi- 

 nation de constantes en choisissant des courbes spécialement simples, 

 et c'est en ceci que consiste l'importance de la méthode que nous illustrons 

 dans ce quit suit. 



Nous verrons un exemple très simple de l'application de cette méthode, 

 si nous essayons de déduire les formules ordinaires de Pliicker. Comme 

 on peut, p. ex. considérer comme sûr que la classe d'une courbe doit être 

 déterminée par son ordre, son nombre de points doubles et son nombre 

 de rebroussements, vu que ce n'est que ces points singuliers qui diminuent 

 le nombre des tangentes que l'on peut tirer à la courbe d'un même point, 

 on peut alors trouver la relation existant réellement, si seulement l'on 

 connaît les propriétés de la ligne droite, de la section conique et de la 

 courbe du 3" ordre avec rebroussement. 



Désignons par d le nombre de points doubles, /// étant l'ordre, //, la 

 classe, et 5, le nombre de rebroussements. Comme nous savons que <•/ 

 est un nombre de 2e espèce, d doit être une fonction du 2e degré en w, 

 >i, s; posons d = d ii/i, )i, s). Nous obtenons alors: 



dim y -j- ni.,, iij^ +//.,, 5 , -{- So) = d iiii^, ii^, s ^) -\- d iiii.^, // .j, s.^) -+- m 1 '" o , 



parce que le nombre des points d'intersection de 2 courbes d'ordres nl^ 

 et ;;;., est ni^ ni.,. 



D'après le théorème 3, il faut alors que 



dim, II, s) = -|- d^ ini, n, s). 



où dy i ni, II, s] est une fonction linéaire homogène de ;;/, n, s. Nous 

 pouvons donc poser 



r/, (/;/, //, 05) = ani -\- bn -\- es . 



