22 KR. BIRKELAND ET TH. SKOLEM. M.-N. Kl. 



Les coefficients a, b, c peuvent maintenant être déterminés en considé- 

 rant une ligne droite, une section conique et une courbe de 3e degré 

 avec rebroussement. 



Pour m = 1 , ;/ = 0, 5 = nous avons c/ = et aussi pour ;;/ = 2, 

 n = 2, s = (} et pour ;;/ = 3, ;/ =: 8, 5=1. 



En opérant les substitutions, on obtient les 3 équations 



, 1 



« + 2 = 



2r/4- 2/^-f- 2 =0 



D'où l'on obtient 



^a + '^h-\-c+ ^ =0 



1,1 3 



2 ^'-~2 ' = -2- 



La formule générale sera donc 



, ;« (jii — 1) « 3 



5 



2 2 



ou si l'on veut 



u = m iiii — 1 ) — 2(/ — 35, 



soit la 1ère formule bien connue de Pliicker. 



On peut également, à l'aide de cette méthode, trouver la 3« formule 

 de Pliicker, qui donne le nombre des points d'inflexions, si seulement l'on 

 connaît ce nombre pour la section conique, la courbe de 3e ordre avec 

 point double et la courbe de 3e ordre avec rebroussement. Le nombre 

 des points d'inflexions étant primitifs, on a nécessairement 



/ = (I III -\- un -^ es . 



Pour m ^ n = 2, 5 = nous avons / = 0. Pour ;// = // = 3, 5=1 

 nous avons / = 1. Pour /// = 3, « = 4, 5 = nous avons / = 3. On 

 obtient donc les 3 équations: 



2a + 2/; = 

 3ff + 3/; + 6-=l 

 3rt+4/; = 3. 

 Il en résulte que 



a = — 'i /> = 3 r = 1 . 



La formule générale sera donc 



/ = — 3 /;? -j- 3 // -|- 5 

 ou 



3 /;/ -)-/== 3 n -\- s , 



