1914- No. 12. UNE MÉTHODE ÉNUMÉRATIVE DE LA GÉOMÉTRIE. 23 



formule qui correspond à elle-même par le dualisme. Si l'on introduit ;/ = 

 ;;/(;// — 1 ) — • 2d — ds, on obtient 



/ - ^mim — 2) — i6d — 85 

 qui est la 3e formule de Plücker. 



Dans la suite, nous allons montrer Tapplication de la méthode à une 

 série d'autres problèmes de contact. 



Problèmes de coiitact. 



Problème i. Une formule d'importance fondamentale de la théorie 

 du contact des courbes est celle qui donne le nombre des courbes dé- 

 pendantes d'un paramètre, qui sont en contact avec une courbe donnée. 

 Ce nombre étant primitif, on doit pouvoir l'exprimer ainsi: 



N — am -\- bn -\~ es. 



Nous pouvons en effet considérer comme tout à tait sûr que ce nombre 

 est seulement déterminé par les nombres de Plücker. Ce ne sont, en effet, 

 que les points doubles et les points de rebroussement qui réduisent le 

 nombre des courbes en contact, que l'on a pour une courbe qui, considérée 

 comme lieu de points, n'a pas de singularités. En raisonnant comme suit, 

 on peut démontrer que le nombre est indépendant du nombre de rebrousse- 

 ments, 5. 



Soit a le nombre de courbes de la famille qui passent par un point 

 donné, et v le nombre des courbes qui sont en contact avec une ligne 

 droite. Supposons qu'une courbe de l'ordre /;/, de la classe n et ayant 5 

 rebroussements varie vers une forme limite, à laquelle il se présente un 

 nouveau point double, de sorte que la courbe est alors de l'ordre m, de la 

 classe (/? — 2) et a un nombre de rebroussements s. Par ce point double 

 passent alors a courbes de la famille; mais chacune de celles-ci doivent 

 être comptées deux fois, chacune d'elles désignant en réalité deux courbes 

 coïncidentes, de même manière que 2 tangentes sont coïncidentes en un 

 point double. Le nombre des courbes de la famille qui passent par un 

 point double est donc égal à 2. Chacune de celles-ci coupe la courbe 

 considérée en deux points coïncidents, sans être des courbes en contact. 

 De même manière, '\ii courbes de la famille passent par un rebroussement, 

 c. à d.: lorsque nous faisons varier des courbes de l'ordre ;;/, de la classe 

 ;/ et avec 5 points de rebroussement vers une forme limite, où il se 

 présente un nouveau point de rebroussement, 3« des courbes qui étaient 

 antérieurement en contact passeront par ce point de rebroussement. On a 

 en même temps obtenu une courbe d'ordre /;/, de classe n — )) et avec 

 5 -\- 1 points de rebroussement. 



