24 KR. BIRKELAND ET TH. SKOLEM, M.-N. Kl. 



Nous aurons donc les deux équations: 



am + ô (« — 2) -|- C5 = am + bu -\- es — 2^< 

 <•?;// -h b{n — 3) -f- c (5 -|- 1 ) = am -\- bn -{-es — 3/( 



dont le résultat est 



b = ^i c = 0. 



Comme c = 0, le nombre est donc indépendant du nombre de re- 

 broussements. Quant au coefficient a, il exprime simplement le nombre 

 des courbes de la famille qui touchent une ligne droite. Ce nombre, nous 

 l'avons appelé ci-dessus v, et nous exprimerons donc le nombre cherché ainsi: 



N = vm -|- ////. 



On peut naturellement déterminer aussi tous les 3 coefficients de la 



formule 



TV = atn -\- bn -[- es 



en trouvant le nombre N dans 3 cas simples, p. ex. quand la courbe est 

 une ligne droite, une section conique ou une courbe du 3e degré avec 

 rebroussement. Nous allons montrer, dans ce qui suit, comment cela peut 

 s'eff'ectuer; mais, pour simplifier les choses, nous supposons tout d'abord 

 que les courbes de la famille de courbes donnée sont des courbes ordi- 

 naires considérées comme lieux de points, — ce qui n'empêche naturelle- 

 ment pas qu'un nombre fini d'entre elles ait des points singuliers • — et 

 qu'il n'existe aucune courbe dégénérée dont une partie soit une courbe double. 

 Supposons que les courbes soient d'ordre /. Le nombre de celles de ces 

 courbes qui passent par un point donné peut être appelé (.1 comme ci- 

 dessus. 



Désignons par L une ligne droite. Pour trouver combien de courbes 

 touchent L, nous pouvons nous servir du principe de correspondance de 

 Chasles. Par un point arbitrairement choisi sur L, passent ii courbes, 

 coupant, chacune, L en t — 1 autres points. Il se produit alors sur L une 

 correspondance /H/ — 1) à f.i\t — 1 ), d'où il s'ensuit que le nombre de 

 coïncidences est égal à 2u(t — 1 ). D'après les suppositions faites, une 

 telle coïncidence ne peut se produire que du fait qu'une courbe touche L. 

 Le nombre des courbes en contact est donc 



,. = 2^i(t — 1). 



Soit K une section conique. Une telle courbe étant également du 

 genre 0, le principe de correspondance de Chasles peut aussi lui être 

 appliqué. Par un point arbitraire sur A' passent // courbes de la famille, 

 coupant, chacune. A' en 2/ — 1 autres points. On obtiendra donc sur A' 



