26 KR. BIRKELAND ET TH. SKOLEM. M.-N. Kl. 



d'ordre ;//, y.i ni coïncidences proviendront de l'intersection avec Ci,ety.oin 

 coïncidences de l'intersection avec Co. Nous obtenons donc, en posant 

 2uif— l)-=v', 



V = v' — xi — y.o, 



et le nombre de courbes tangentes à une courbe d'ordre /// et de classe // sera 



v'/// -|- //// — y.iiii — y.2iii = vin + an. 



Cette formule continue donc à rester vraie aussi dans ce cas. 



A l'aide de la proposition ainsi démontrée, on peut aussi trouver 

 facilement le nombre de courbes d'une famille de courbes dépendantes de 

 p paramètres touchant chacune de p courbes données, dont les nombres 

 d'ordre et de classe sont respectivement {nii, ni), {nio, no), • • • ( ;/;^, w^,). 



Le nombre sera en effet: 



où les indices /, _/, ■ ■ ■ k prennent, indépendamment l'un de l'autre, les 

 valeurs 1, 2 et oîi </r,i =///»•, ^r, 2 = '/,■ et où (J,j...k désigne le nombre des 

 courbes de la famille qui touchent autant de lignes droites qu'il y a de 

 nombres 1 parmi les nombres /, /, ■ • • k, et qui passent par autant de 

 points qu'il y a de nombres 2 parmi les nombres i, j, • • ■ k. 



L'exactitude de ce qui précède ressort immédiatement du théorème 2, 

 puisque le nombre est primitif par rapport à chacune des p courbes, pourvu 

 toutefois que l'on sache qu'il est déterminé seulement par les nombres d'ordre 

 et de classe des courbes. Or ceci est absolument certain ; car, si l'on 

 considère les courbes dépendantes d'un paramètre (en deçà de la famille des 

 courbes données dépendantes de /> paramètres) qui touchent la lère^ la 2e • • • 

 la(r — 1 )'"% la(r4- 1)'"% • • -, la />'"* courbe, le nombre de celles de ces 

 courbes qui touchent en outre la courbe r"" sera, d'après ce qui est dé- 

 montré plus haut, indépendant du nombre de rebroussements de cette 

 dernière et seulement déterminé par ;;/,• et «r- Comme ceci s'applique à 

 chaque r, de 1 à />, le nombre considéré est donc une fonction seulement 

 des nombres d'ordre et de classe des courbes. 



Problème '2. Essayons de trouver le nombre de courbes, dépendantes de 

 2 paramètres, qui ont un contact de deuxième ordre avec une courbe de l'ordre 

 ;;/, de la classe n et ayant 5 rebroussements. Pour simplifier les choses, nous 

 ne considérons que le cas où les coiu-bes de la famille qui possèdent des 

 points singuliers ne dépendent que d'un paramètre et nous supposons que, 

 parmi celles des courbes de la famille qui passent par un point donné, 

 il ne s'en trouve aucune qui soit dégénérée de telle manière qu'il se pré- 



