1914- ^O- 12. UNE MÉTHODE ÉNUMÉRATIVE DE LA GÉOMÉTRIE. 27 



sente des courbes doubles. Soit a le nombre des courbes de la famille 

 qui passent par 2 points donnés, et / l'ordre des courbes. 



Le nombre cherche étant primitif, il doit, par suite du théorème i. 

 être de la forme 



A' = ail! -\- bu -\- es. 



Les coefficients a, b, c s'obtiennent en déterminant .\' pour une ligne 

 droite, une section conique et une courbe de 3e ordre avec rebroussement. 



Soit L une ligne droite. Par deux points arbitraires sur L passent 

 n courbes, dont chacune coupe L en t ^ 2 autres poirjts. Si l'on main- 

 tient immobile l'un des 2 points choisis, on obtiendra donc sur L une 

 (^f.i[t — 2), u{t — 2)) correspondance avec 2u(t — 2) coïncidences. Par 

 conséquent il passe par un point arbitraire sur L '2uU — 2| courbes, qui 

 touchent L en un autre point. Comme nous l'avons vu dans le problème 

 précédent, le nombre de courbes passant par un point en dehors de L et 

 touchant L sera 2//I/ — 1). Si l'on pose maintenant 



,. = 2u{f— \), 



on voit donc que, par un point P sur L, il passe r — '2u courbes qui 

 touchent L en un point different de P. 



Par contre, si l'on choisit un point donné sur L comme point de 

 contact ou — en d'autres termes — si l'on choisit 2 points consécutifs 

 sur L, il passe par ces points a courbes de la famille de courbes donnée, 

 et chacune de ces courbes coupe L en / — 2 autres points. A un point de 



contact correspond donc /H/ — 2)=— — u autres pomts. 



On voit ainsi que les courbes tangentes à L définissent une corre- 

 spondance entre les points sur L, vu qu'à chaque point simple d'inter- 

 section donné correspond r — 2u points de contact, tandis qu'à chaque 



point de contact donné correspond — a points d'intersection simples. 



Le nombre de coïncidences dans celte correspondance doit donc être 



y 3 



V — 2u -(- -. — u =.-.»' — 3«. 



Ceci est le nombre des courbes a3'ant un contact de deuxième ordre 

 avec L. La valeur du coefficient a est donc 



3 

 a = V — au. 



Soit K une section conique donnée. En un point donné sur A tou- 

 chent (il courbes de la famille donnée, et chacune de ces courbes coupe 



