28 KR. BIRKELAND ET TH. SKOLEM. M.-N. Kl. 



K en 2/ — 2 autres points. Par conséquent à chaque point de contact 

 correspond 2« U — \]^v points d'intersection simples. Inversement, il 

 passe par chacun de ces points un certain nombre de courbes tangentes 

 à K. Nous pouvons trouver ce nombre de la manière suivante : 



Par 2 points sur K passent ,u courbes, dont chacune coupe A' en 

 2/ — 2 autres points. Si l'on maintient immobile l'un des 2 points, on 

 déterminera donc une correspondance ayant 4</ (/ — Ij = 2j; coïncidences; 

 c. à d. par un point arbitraire sur K passent 2v courbes tangentes à K 

 en un autre point. A chaque point d'intersection simple correspond donc 

 2j' points de contact. 



Les courbes de la famille donnée qui sont tangentes à Â' produisent 

 donc sur K une (v, 2^) correspondance ayant Sr coïncidences. Le nombre 

 des courbes ayant un contact de deuxième ordre avec K est donc 3v. 

 Ceci peut servir à la détermination du coefficient b\ nous obtenons en 

 etfet : 



3ï/ — 6.« + 2/^ = "àv, 

 d'où 



b = 3« . 



Considérons maintenant une courbe C3 , c. à d. une courbe du 3e 

 ordre, de 3'' classe avec un rebroussement et un point d'inflexion. En un 

 point donné de C3 touchent /< courbes, dont chacune coupe C3 en 3/ — 2 

 autres points. Par conséquent à chaque point de contact correspond 

 /<(3/ — 2) points d'intersection simples. 



Par 2 points de C\ passent a courbes, dont chacune coupe C\ en 

 3/ — 2 autres points. Si l'on maintient immobile l'un des deux points, on 

 obtiendra donc une correspondance ayant 2/<(3/ — 2) coïncidences. Or 

 toutes ces coïncidences ne proviennent pas du contact; car il passe ,« 

 courbes par le point fixe et le rebroussement. Par conséquent il passe 

 par le point fixe 2^« (3^ — 2) — u courbes tangentes. 



Dans la correspondance produite par les courbes tangentes, corre- 

 spondent donc à chaque point de contact /«(3/ — 2) points d'intersection 

 simples, tandis qu'inversement correspondent à chacun de ces points 

 2ul3/ — 2) — ^i points de contact. Le nombre des coïncidences sera donc 



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u m — 2 ) + 2,a ( 3/ — 2) — n = ^v ^ 2,« . 



Or il existe, dans la famille, a courbes qui sont tangentes à la tangente 

 de rebroussement au point de rebroussement. Chacune de celles-ci coupe 

 aussi C3 en 3 points infiniment voisins entre eux, mais en général il 



