1914- ^O. 12. UNE MÉTHODE ÉNUMÉRATIVE DE LA GÉOMÉTRIE. 29 



n'v a pas de contact d'ordre 2. Le nombre des courbes ayant un contact 

 de deuxième ordre avec C3 sera donc 



-^ '' + ." • 

 Le coefficient r peut maintenant être déterminé. Nous obtenons 

 Iv — 9// + 9a+r = |-v+//. 



d'où c = /< . 



La formule générale sera donc 



3 

 X = (— V — 'au] m 4- 3,"'/ + lis . 



Comme on le voit, cette expression n'est pas seulement linéaire et 

 homogène par rapport à ;;/, ;/, 5, mais aussi par rapport à 1.1, v. C'est 

 justement comme il faut que ce soit; car le nombre des courbes ayant un 

 contact d'ordre 2 n'est pas seulement primitif par rapport à la courbe 

 donnée, mais également par rapport à la famille de courbes donnée. 



Exemples: il Que la famille de courbes dépendantes de 2 paramètres 

 soit les sections coniques qui passent par 3 points donnés. On a alors 

 u = 1 et V = 2, conformément à la formule v = 2«(/ — 1), / étant ici = 2. 

 Le nombre de celles de ces sections coniques qui ont un contact d'ordre 2 

 avec une courbe donnée, sera 



3« -J- 5 ^ 3w; -|- / , 

 / étant le nombre d'inflexions de la courbe. 



2) Que la famille de courbes donnée soit les sections coniques qui 

 passent par 2 points donnés et touchent en outre une ligne droite. On a 

 alors u = 2, r = 4, et le nombre des sections coniques ayant un contact 

 d'ordre 2 avec une courbe donnée sera conséquemment juste le double du 

 nombre du cas précédent; il sera donc 



6;/ + 25 = 6;;/ + 2/. 



Par contre la formule générale trouvée ne peut être immédiatement 

 appliquée aux sections coniques qui passent par un point donné et touchent 

 en outre 2 lignes droites données, car il se trouve en eftet des lignes 

 doubles parmi celles de ces sections coniques qui passent encore par un 

 autre point donné. Une conséquence du dualisme est cependant que le 

 nombre de sections coniques ayant un contact d'ordre 2 est aussi, en ce 

 cas, 6;/ -f -s = Q»i + 2/, et parmi les sections coniques qui touchent 3 

 lignes droites il n'y a de nouveau que 3ii -\- s = 'dm + / qui aient un 

 contact de deuxième ordre avec la courbe donnée. 



