30 KR. BIRKELAND ET TH. SKOLEM. M.-N. Kl. 



Nous avons trouvé que le nombre des courbes de la famille (//, v} 

 ayant un contact d'ordre 2 avec une section conique était 'dv. Prenons 

 maintenant en considération ce qui se produira, si la section conique 

 dégénère en 2 lignes droites qui se coupent entre elles. Le nombre des 



courbes ayant un contact d'ordre 2 avec l'une des deux lignes droites est 



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 alors — V — 3/i, et avec les deux lignes ce nombre sera 'iv — 6a. Il y 



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aura en outre ^< courbes touchant l'une des lignes en son point d'inter- 

 section avec l'autre, et également a courbes touchant l'autre ligne en ce 

 point. Chacune de ces courbes coupe également la section conique 

 dégénérée en trois points infiniment voisins entre eux. D'après le prin- 

 cipe de conservation du nombre (Voir Schubert, Kalkül der abzählenden 

 Geometrie, p. 12), le nombre total de ces courbes devra être 3j'. On voit 

 que ceci n'est possible que lorsque chacune des a courbes qui touchent 

 l'une des lignes droites en son point d'intersection avec l'autre, doit être 

 compté 3 fois, ce qui veut dire que, du moment où la section conique 

 dégénère, 3 des courbes ayant antérieurement un contact d'ordre 2 avec 

 la conique et d'ailleurs différentes coïncideront ici. Ayant connaissance 

 de ce fait, on peut alors de nouveau trouver les nombres concernant 

 d'autres courbes à l'aide de la dégénération en lignes droites, et contrôler 

 ainsi les résultats antérieurs. 



Une courbe C\y c. à d. de 3® ordre et de &" classe, peut, comme 

 on le sait, dégénérer en 3 lignes droites se coupant entre elles. Le 

 nombre de courbes de la famille donnée, qui coupent cette figure en 3 

 points infiniment voisins entre eux, est la somme du nombre des courbes 

 ayant un contact d'ordre 2 avec les lignes droites et du nombre de celles 

 qui touchent une des lignes en un des points d'intersection de cette ligne 

 avec les 2 autres lignes, et les dernières courbes doivent, comme nous 

 l'avons vu, être comptées 3 fois. Le nombre des courbes ayant un contact 

 de deuxième ordre avec les lignes sera 



Ç^v — Su) . 3 = - r — 9,« . 



Le nombre des autres courbes sera 2// -3.3 = 18a . Le nombre total 

 des courbes ayant un contact d'ordre 2 avec une C^ sera donc 



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La formule générale trouvée donne, en introduisant m = 3, ;/ = »3, 5 = 0: 

 4 '' — ^f') • 3 + 3/< • 6 = ;] V + 9/^ 

 par conséquent le même résultat. 



