1914- '^O- 12. UNE MÉTHODE É.NUMÉRATIVE DE LA GÉOMÉTRIE. 3I 



Une courbe C^ (3® ordre, 4*" classe) peut dégénérer en 3 lignes droites 

 se coupant entre elles, l'un des 3 points d'intersection des lignes étant le 

 point double. Les courbes ayant un contact d'ordre 2 avec C3 , sont celles 

 qui coupent C3 en 3 points infiniment voisins entre eux, à l'exception 

 de celles qui touchent au point double l'une des 2 tangentes du point 

 double. Pour la figure dégénérée, nous aurons donc à additionner ensemble 

 le nombre des courbes qui ont un contact d'ordre 2 avec les lignes, et 

 des courbes qui touchent l'une quelconque des lignes soit à l'un ou à 

 l'autre de 2 des points d'intersection des lignes, le 3^ étant donc excepté. 



Le nombre des courbes a3'ant un contact de deuxième ordre avec les 



9 

 lignes est — r — 9</. Le nombre des autres courbes en question sera 12a. 



On aura donc le nombre total de courbes ayant un contact d'ordre 2 avec 



une courbe C3, égal à 



En introduisant ;// = 0, // =4, 5 = 0, la formule donne 



{^v — 3«) 3 -f 12« = |v + 3,/^ 



soit le même résultat. 



Ce problème, de même que les problèmes de contact suivants, peut 

 aussi être résolu à l'aide du principe de correspondance étendu aux 

 courbes des genres > (Cayley, Brill). 



Problème 3. Considérons maintenant une famille de courbes de 

 Tordre / dépendantes de q paramètres, qui est de telle nature que les 

 courbes qui ont des points singuliers ne dépendent que de q — 1 para- 

 mètres, et en outre telle qu'aucune des courbes qui passent par q — 1 

 points donnés ne dégénère de façon qu'il se présente de courbes doubles. 

 Soit u le nombre de courbes de la famille qui passent par q points donnés. 



On doit démontrer en premier lieu que le nombre de courbes de la 

 famille, qui coupent une ligne droite L en q -\- \ points consécutifs, est 



(^q^^^l-^- 1.>,«I^ — V» — »y^ — 1.»,". 



t étant le nombre de points d'intersection mobiles des courbes de la famille 

 avec L. 



Pour q = l la formule est exacte (Voir problème i, p. 24). Nous 

 pouvons démontrer en outre que de l'exactitude de cette formule pour un 

 certain nombre q, résulte l'exactitude de la formule pour le nombre </ -|- L 

 Pour que ceci paraisse évident, il est nécessaire que nous considérions 

 une famille dépendante de q -}- l paramètres et une ligne droite L. Si 



