32 KR. BIRKELAND ET TH. SKOLEM. M.-N. Kl. 



l'on choisit '/-Hl points consécutifs sur L, il passe par ceux-ci /< courbes, 

 qui coupent, chacune, L en / — q — 1 autres points simples. Si par contre 

 on choisit l'un de ceux-ci, il passe par ce point iq -|- 1 ),«(/? — 2) — {q^ — l)/< 

 courbes qui, dans un lieu ou dans un autre, coupent d'ailleurs L en ^ + l 

 points consécutifs. Ceci est clair, puisque les courbes de la famille dépen- 

 dante de (/ -j- 1 paramètres, qui passent par un point donné /> sur L, 

 forment une famille dépendante de q paramètres qui satisfait aux conditions 

 posées, lorsque la famille à ^ -|- 1 paramètres y satisfait, et telle que /t 

 courbes de la famille à q paramètres passent par q points donnés, et que 

 chaque courbe coupe L en / — 1 points mobiles. Nous aurons alors en L 

 une correspondance 



((y 4- 1 )/< U — 2 ) — (V/ _ 1) ,< ^ f_^yt — q— 1 )) 

 ayant 



{q 4- \)n it — 2) -\-u{f — q- 1 ) — (^2 _ 1),^ 



coïncidences. Le dernier nombre peut s'écrire 



«î+i = {q + ^),nii — 1) — (q- + 2q)u = (// + 2)uU — Ij — {(q + l)"' — l)u. 



Par conséquent la formule est aussi exacte pour q -\- \. 



Lorsque les courbes sont d'ordre f, le nombre des points d'intersection 

 mobiles avec une ligne droite seront en général /. Si l'on désigne alors 

 par V le nombre des courbes de la famille qui touchent une ligne droite 

 donnée, on a 



V = 2u(f—]), 



et par conséquent l'expression de a^ peut s'écrire comme suit: 



aq = ~-^--v—{q"—l)u. 



Nous avons vu par contre que le nombre des courbes dépendantes 

 de q -\- l paramètres, qui passent par un point donné p sur une ligne 

 droite L, et qui en outre coupent celle-ci, en un autre lieu, en q -\- ^ 

 points consécutifs, est 



aq — {q -\- 1)// . • 



Comme ce nombre, lorsque /> n'est pas situé sur L, est (ig, (q -{- 1)" 

 courbes doivent donc couper L en (^ + 1) points consécutifs en p. Or il 

 ne passe que /< courbes par <7 -|- 1 points; mais le fait est que chacune 

 de celles-ci, en ce cas, désigne ^ + 1 courbes coïncidentes des courbes 

 .qui coupent L en q -\- l points consécutifs. 



