1914- ^O- ^2. UNE MÉTHODE É.NUMÉRATIVE DE LA GÉOMÉTRIE. 33 



11 est alors évident que, si iVg est le nombre de courbes d'une famille 

 à q paramètres de l'espèce ici considérée, coupant une courbe donnée C 

 en <7 + 1 points consécutifs, le nombre de courbes en une famille à </ -|- 1 

 paramètres, passant par un point p sur C et coupant en outre C à un 

 autre endroit en q -\- 1 points consécutifs, est égal à .V, — ' (?7 ~j~ 1'."- ^1 

 faut bien qu'il en soit ainsi, lorsque 1^ H- l),u courbes doivent couper C 

 en p, en q -\- \ points consécutifs. 



Suivant le théorème i, il est évident que le nombre de courbes 

 dépendantes de q paramètres qui coupent une courbe de l'ordre ;;/, de la 

 classe // et ayant s rebroussements, en </ -)- 1 points consécutifs, doit être 

 de la forme 



y,^ = a^m + '^î« -I- <'î-^^ 



car ce nombre est primitif. Ici r?^ a justement la même signification que. 

 ci-dessus, le nombre A',^ pour une ligne droite. Nous connaissons donc a„. 

 Cherchons maintenant à trouver des formules récurrentes pour b„ et Cn. 



Pour y arriver, considérons une famille h. q -\- \ paramètres et cher- 

 chons le nombre de courbes qui coupent une section conique en </ -|- 2 

 points consécutifs, et également le nombre de courbes qui coupent une 

 courbe de 3® ordre avec rebroussement en ^ -|- 2 points consécutifs. 



Soit A' une section conique. Le nombre de courbes passant par un 

 point p sur Ä' et coupant en outre K, en un autre lieu, en ^ -h 1 points 

 consécutifs (voir remarque ci-dessus I sera 



2a,+ 2ô, — U/4-1)«, 



2rtç -|- ^b^ étant le nombre \\ d'une section conique. 



Si l'on choisit <7 + 1 points consécutifs sur Ä', il passera par ceux-ci 

 << courbes, dont chacune coupera ^ en 2/ — q — 1 autres points. On 

 obtiendra donc «(2/ — q — 1 ) = j- — [q — \)u points simples d'intersection 

 correspondants. 



On obtient alors dans cette correspondance 



2(7, + 2/>, — u/ + 1 )u —U]—\ )u 4- r 



coïncidences. Or ce nombre doit être Xq^i pour une section conique, ou 

 en d'autres termes 



2^,-1-1 -[- 2/;,,_i = 2f7, -f 2^, — '2qa -j- v, 



d'où, comme l'on trouve facilement que 



2a,_ui =^ 2aq 4- v — ^-iq -\- 2)// , 

 il résulte 



é,_i ^ ôq -{- iq -\- 1 )u . 



Vid.-Sdsk. Skrifter. I. M.-X. Kl. 1914. No. 12. 3 



