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KR. BIRKELAND ET TH. SKOLEM. M.-N. Kl. 



Or bx étant égal à u , il en ressort que 



Le nombre de courbes passant par un point p sur une courbe C3, 

 c. à d. de 3^ ordre et de 3e classe, et coupant en outre celle-ci en ^/ -h 1 

 points consécutifs en un autre lieu, sera 



3rtg + ^bq + Cq — (q -\- 1 ) //. 



Si l'on choisit ^ + 1 points consécutifs sur C3, il passe par ceux-ci 

 a courbes, dont chacune coupe C':, en 8/ — q — 1 autres points. Par 



3 



conséquent on obtient u Vit — q — 1 ) "= ^ î^ — ((} — 2) u points d'intersec- 

 tion simples. 



Le nombre de coïncidences de cette correspondance se trouvera donc être 



%a,, + Uq + Cq — iq-\- 1 ) a — {q ~ 2) ii -^ ^ v == 



= 3^?, + 2,bq -\- Cq — (2<7 — 1 ) /< -f o v. 



3 



2 



De ces coïncidences il y en a u, qui sont dues aux f.i courbes, qui 



coupent C\ au rebroussement, en «7+2 points infiniment voisins entre 



eux, comme on peut le démontrer algébriquement. Chacune de ces courbes 



coupent aussi C3 en q -\- '^ points confondus, mais non consécutifs, de 



sorte qu'elles ne donnent lieu à aucun contact d'ordre q -\-\. Le nombre 



de courbes qui coupent C3 en q -\- 2 points consécutifs (ou ont un contact 



d'ordre q -\- ^ avec la courbe) sera donc 



3 

 3rt, + Uq H- Cq — 2qu + 2 î'- 



Ce nombre est d'autre part iV, + i pour une C3, soit: 



^ciq + 1 + 3ôj + 1 -h <"? + 1- 

 En conséquence on obtient l'équation 



3 



3(7^ + 1 -1- 3^5 + 1 -f c, + 1 = 3^7, -|- 'ibq + (^q — 2^//< + ^ V. 



Or on a 



3 



3rtç + 1 -f ibq + 1 = ia^ 4- 3Z», — oqii -f ^ v. 



Par conséquent 



c, + 1 = Cj -}- qu. 



Comme c^ = 0, on a donc 



qiq—\) 

 c„ = ^—^ u. 



