1914- ^^O- 12. UNE MÉTHODE F.NUMÉRATIVE DE LA GÉOMÉTRIE. 35 



La formule générale sera donc: 



Nq = '-^— (î' — 2u/ — 1 ]a) m -(- -^ — - — '- un -f- '^-^ us. 



Ce serait un excellent contrôle de trouver directement ce nombre pour 

 »i = 3, ;/ = o, 5=1, On aura alors 



2 ' "'■^' ■'• ' 2 



^{q^l)v-(q-^-q-3)u. 



Par q points P^, P.^, • • • , Pq, sur une courbe C3, passent« courbes 

 chacun coupant C3 et 3/ — q autres points. Par les points Pj, P.^, ■ ■ -, Pq-i 

 passent donc 2u{Sf — q) courbes, qui en outre coupent C3 en deux points 

 coïncidents. Parmi celles-ci il y en a u qui passent par P^, P.^, • • , Pq -\ 

 etlerebroussement. Le nombre de courbes tangentes passant par P, »P^' " <P<i- 1 

 est donc 2i.i{'èt — q) — //. Si l'on tient immobiles P^ ■ • • Pq-2, il passera 

 donc, par un point quelconque Pq^\ sur C3, 2«(3/ — q] — u courbes tan- 

 gentes. Si par contre on choisit un point arbitraire comme point de con- 

 tact, il passera, par les 2 points qui y coïncident et par les points 

 Pj • • • Pq^o, lii courbes coupant en Sf — q autres points. 



On obtiendra alors une correspondance ayant 3,« (3/ — q) — // coïnci- 

 dences. Or il passe jli courbes par 2 points consécutifs sur la tangente 

 de rebroussement, situés au rebroussement et par les points P^ • • ■ Pq-2- 

 Si l'on tient immobiles les points P, • • • Pq-^, il passera donc, par un 

 point arbitraire P,_2, 3,«(3/ — q) — 2« courbes ayant un contact d'ordre 2 

 avec C\. Si l'on poursuit ce raisonnement, on arrive à ce résultat que, par 

 chaque point P, de Cg, il passe </// (3/" — q] — (^— 1 l^u courbes, dont cha- 

 cune coupe Cg en q points consécutifs. Si par contre on choisit q points 

 consécutifs, il passe par ceux-ci // courbes, chacune coupant C3 en 3/ — q 

 autres points. Il arrive donc que <7 -h 1 points coïncident un nombre 



Uj + D^iiV — q) — {q — l)u 

 de fois. Or il existe u courbes qui passent par q -\- 1 points coïncidents au point 

 de rebroussement; mais ces points ne sont pas consécutifs, c. à d. ces f.i courbes 

 coupent aussi C3 en ^ -(- 1 points coïncidents, sans que ce soit un con- 

 tact d'ordre q. On a donc comme résultat qu'il existe 



[q -\- 1)/H3/ — q) — qu 



courbes qui sont en contact d'ordre q avec C3. Ce nombre peut aussi 

 s'écrire 



