36 KR. BIRKELAND ET TH. SKOLEM. M.-N. Kl. 



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^{(/ + 1) J' — (^+ IM«? — 8)/< —qu= (q + \) v — iq- — q — ^) fi, 

 ce qui s'accorde donc avec la formule trouvée. 



Problème 4. Nous pouvons ensuite tâcher de trouver le nombre de 

 courbes dépendantes de deux paramètres, qui touchent deux fois, par con- 

 séquent en 2 lieux différents, une courbe d'ordre m, de classe n, et ayant 

 5 rebroussements. Soit /< le nombre de courbes passant par 2 points 

 donnés, v le nombre de courbes passant par un point donné et touchant 

 une ligne droite donnée, alors que o peut être le nombre de courbes qui 

 touchent 2 lignes droites données. Nous supposons que les courbes ayant 

 des points singuliers ne dépendent que d'un paramètre, et qu'aucune courbe 

 ne dégénère de façon qu'il se produise de courbes doubles. Soit / l'ordre 

 des courbes. 



Si l'on considère les courbes de la famille qui passent par un point 

 donné, celles-ci dépendent d'un paramètre, et, d'après ce que nous avons 

 déjà vu au problème i, il faut que 



v = 2ii[t — 1). 



Si l'on considère maintenant les courbes de la famille qui touchent 

 une ligne droite, celles-ci forment, elles aussi, une famille à un paramètre, 

 et nous obtiendrons de même manière 



o = 2j'(/— 1). 



Le nombre de courbes de la famille donnée, qui touche i fois une 

 courbe d'ordre /;/, et de classe 11^ et i fois une courbe d'ordre hi.^ et de 

 classe U.2, sera, d'après la dernière remarque au problème i, 



Qiii^ iii.^ -\- villi ^ //2 -f »t., //] ) -h foii «2- 



Désignons maintenant le nombre de courbes ayant 2 contacts avec 

 une courbe m, 11, s, par N(iu,n,s). Nous obtenons alors 



--= Nim^, «i.-Sj) + N{}}i.2,}i.^,s.,) -\- Qïii^ m.^ -h r(m, u., -f m.,ii^ ) + {.in^ n.^. 



D'après le théorème 3, la fonction N{ni,n,s) doit donc pouvoir 

 s'exprimer ainsi: 



Xi m, n, s) = l^ m- -f m m + ;^ ir + ani + bn + es, 



et il ne reste plus ici qu'à déterminer les coefficients ci-, b, c. 



Nous cherchons d'abord le nombre de courbes qui touchent 2 fois 

 une ligne droite donnée L. D'après ce que nous avons vu au problème 



