I9I4- No. 12. UNE MÉTHODE ÉNUMÉRATIVE DE LA GÉOMÉTRIE, 37 



3, il passe par un point de la ligne v — '2u courbes qui la touchent en un 

 autre lieu. Puis nous considérons la famille à un paramètre des courbes 

 qui touchent L. Par un point donné de L, passent alors v — 2/i de ces 

 courbes, et chacune d'elles coupe L en / — 3 autres points. De cette 

 façon on détermine donc sur L une correspondance {(v — 2/i)(/ — 3), 

 iv — '2u)(f — 3)) entre les points d'intersection simples. Le nombre de 

 coïncidences sera donc 2(j' — '2u){i — 3), et le nombre de courbes ayant 

 2 contacts avec la ligne donnée sera 



(j' — 2/n(/— 3) =|— 3j'+4/<, 



chacune de celles-ci entrant en eftet deux fois en considération auxdites 

 coïncidences. 



Soit K une section conique. Par un point hors de A' passent 2t' -j- 2/< 

 courbes tangentes à K. Par conséquent il passe, par chacun des points 

 de A', 2r + 2u — 2u = 2j' courbes touchant A' en un autre lieu. Chacune 

 de ces courbes coupe A' en 2 t — 3 autres points. On obtient donc sur 

 K une correspondance (2j'(2/ — 3), 2r(2/ — 3|) entre les points d'inter- 

 section simples, et le nombre de coïncidences sera 4j'( 2/ — 3|. Le nombre 

 des courbes a3-ant 2 points de contact avec la section conique sera donc 



2v[2t— 3) = 2o — 2v. 



Cherchons si nous trouverons le même nombre à l'aide d'une section 

 conique dégénérée, consistant en 2 lignes droites se coupant entre elles. 



On a tout d'abord les courbes tangentes à aussi bien l'une que l'autre 

 ligne. Leur nombre est o. Puis l'on a les courbes qui passent par le 

 point d'intersection des lignes et touchent l'une ou l'autre des lignes; car 

 celles-ci ont aussi 2 fois un point avec la tangente correspondante commun 

 avec la conique dégénérée. Or il existe, comme nous l'avons vu, j' — 2u 

 courbes passant par un point sur une ligne droite et touchant celle-ci en 

 un autre lieu. Le nombre de courbes passant par le point d'intersection 

 des 2 lignes et touchant l'une ou l'autre de ces lignes sera donc ■\v — S//, 

 chaque courbe devant être comptée 2 fois. Le point d'intersection des 

 lignes désigne en eftet 2 faisceaux de lignes coïncidents, ou un sommet 

 double. On a enfin les courbes qui touchent 2 fois ou l'une ou l'autre 

 ligne. Le nombre de celles-ci est o — Hj- -|- 8«. On obtient donc comme 

 total le nombre 



o -I- 4 j' — 8« + o — 6)' -h Su = 2o — 2v, 

 ce qui est juste. 



