38 KR. BIRKELAND ET TH. SKOLEM. M.-N. Kl. 



Nous considérons ensuite une courbe C3. Par un point situé hors 

 de la courbe passent Sv + S/n courbes tangentes à C3. Par un point de 

 Cg passent en conséquence 3)' -|- 3/.i — 2u ^3v -\- /ii courbes, tangentes à 

 cl en un autre lieu. Chacune de ces courbes coupent C3 en 3/ — 3 autres 

 points. On obtient donc en Cl, entre les points d'intersection simples, une 

 {(Sv H-,«) (3/— 3j, (3»' -h 1^1) {'åt — S)) correspondance ayant 2(Sv-\- /.ijiSt—'d) 

 coïncidences. Nous devons toutefois trouver le nombre de courbes qui 

 passent par le rebroussement et touchent Cg en un autre lieu. Par le 

 rebroussement et par un point arbitraire situé d'ailleurs sur Cg, passent /n 

 courbes, et chacune de celles-ci coupe C-^ en Si — 3 autres points. On 

 obtient donc une correspondance ayant 2/H3/ — 3) coïncidences, et ceci est 

 le nombre de courbes tangentes passant par le rebroussement. 



Le nombre de courbes 2 fois tangentes sera donc 



9 

 [Si' -h fi) { Si — 3) — Il ( 3/ — 3) = 9 j/(/ — 1 )= -- q. 



Pour déterminer les coefficients a, b, c,. on obtient maintenant les 3 

 équations 



^ + ^? = 2 — Sv 4- 4,« 



20 + 4^ + 2/< -\- '2a -\- 2b = 2q — 2v 



2 Q + '^v + 2 " "^ '^"^ + '^^' + ' ^ 2^- 



D'oîi l'on obtient 



a = 4// — Sv 



b ^^ — bu 



S 

 ^■ = -2,«- 



La formule générale sera donc 



N (m, //,5) = ^ ;;/- + rnin -f- //- -{- {iu — 3r) ;;/ — b/Lin ^ liis. 



Contrôlons la formule en considérant une courbe Cg. Par un point 

 situé hors de C3, il passe Sv -\- 4u courbes tangentes. Donc il passe par 

 un point donné de Cg, Sv -{- 2u courbes touchant Cg en un autre lieu. 

 Chaque courbe tangente coupe Cg en Si — 2 points hors du point de 

 contact, et par l'un de ceux-ci se trouvent déterminés 2u -\- Sv courbes 

 tangentes chacune coupant C* en Si — 3 autres points. Le nombre des 

 courbes 2 fois tangentes sera donc 



