4° KR. BIRKELAND ET TH. SKOLEM. M.-N. Kl. 



viennent cependant de ce qu'une courbe tangente passe aussi par un 

 rebroussement. Il faut donc trouver le nombre de ces courbes. 



Chaque courbe passant par un des rebroussements coupe la courbe 

 C4 en åf — 2 autres points. Si l'on choisit un de ceux-ci, on obtient 11 

 courbes, dont chacune coupe C4 en 4^ — S autres points. On obtient donc 

 2// (4/ — 3) coïncidences. Or il existe 2/< courbes passant par le rebrousse- 

 ment choisi et par l'un ou par l'autre des 2 autres rebroussements. Le 

 nombre de courbes passant par le rebroussement choisi qui touchent Cl , 

 sera en conséquence 8u(f — 1). Le nombre des courbes tangentes à C'I 

 passant par l'un ou l'autre des 3 rebroussements sera donc 24^<(V — 1). 



Le nombre de courbes 2 fois tangentes à C^ sera 



(4v + ^<)(4/ — 3) — 12/<(/ — 1 ) = u + 80 . 



La formule donne 



9 9 



8g + 12}' + ^^ /< + 16/< — 12.' — lôfi — ^ « = ,u 4- 8g , 



par conséquent le même résultat. 



Problème 5. Considérons maintenant une famille de courbes dépen- 

 dantes de deux paramètres, qui possèdent toutes un point double, et 

 examinons combien d'entre elles ont 2 contacts avec une courbe m, ii, s. 

 Nous considérons le cas oii les points doubles sont situés sur une ligne 

 droite. Nous pouvons alors exprimer également le problème de la manière 

 suivante: Cherchons le nombre des courbes qui, dans une famille à trois 

 paramètres, ont toutes un point double se trouvant situé sur une ligne 

 droite, outre qu'elles sont 2 fois tangentes à une courbe ///, ;/, 5. On 

 continue à supposer, comme auparavant, qu'il n'existe pas de courbes 

 dégénérées ayant comme partie des courbes doubles. 



Soit, comme antérieurement, /< le nombre de courbes passant par 

 2 points donnés, v le nombre de courbes passant par un point et touchant 

 une ligne droite, alors que g est le nombre de courbes touchant 2 lignes 

 droites. Nous pouvons en outre désigner par ß le nombre des courbes 

 qui passent par un point donné et ont d'ailleurs leur point double en un 

 point donné de cette ligne droite, où se trouvent tous les points doubles. 

 Nous pouvons appeler cette ligne L, et ( l'ordre des courbes. 



Dans ce qui suit, on trouvera souvent appliqué ce principe qu'un 

 point double absorbe 2 coïncidences; c. à d. si l'on a une courbe K et 

 une lamille de courbes à un paramètre, et si l'une de ces courbes place 

 un point double sur K, ceci signifie 2 coïncidences dans la correspondance 



