1914- No. 12. UNE MÉTHODE ÉNUMÉRATIVE DE LA GÉOMÉTRIE. 4I 



entre les points de /v' qui est produite par l'intersection de K et des courbes 



de la famille. 



On peut démontrer de la manière suivante c|u'un point double absorbe 



2 coïncidences : 



Supposons que 



/(/, .r, y) = 



est une famille de courbes dépendantes du paramètre /, qui possèdent 

 toutes un point double, et que ce point (ou l'un d'eux, s'il y en a plusieurs) 

 coïncide avec un point ordinaire de la courbe K, lorsque / = /o • Si l'on 

 fait varier Â de /,q — e à Xq-\-{:, le point double, pour une valeur de e 

 suffisamment petite, se déplacera en général de l'un à l'autre côté de K, 

 il décrira donc un trajet qui croisera K. Si l'on considère alors les courbes 



fil, X, y) = u, 



on remarquera que celles-ci, pour des valeurs suffisamment petites de /<, 

 pour chaque l, se comporte d'une manière rapprochée comme une section 

 conique au voisinage du point double de la courbe /(k, x, y) ^ 0. Lors- 

 que / se modifie de Xq — t à Å^) -\- e , cette section conique rapprochée se 

 déplacera de l'un à l'autre côté de K, pourvu toutefois que /n soit choisi 

 suffisamment petit. On remarque toutefois que la section conique rappro- 

 chée, en se déplaçant, touchera K 2 fois, savoir d'abord de l'un puis de 

 l'autre des côtés. Si l'on fait décroître u vers 0, ces deux contacts se 

 fondront ensemble, le point double rencontrant Ä'. L'incidence du point 

 double sur Ä' équivaut donc à 2 coïncidences. 



Soit L' une ligne droite donnée, et P un point donné. Par P et un 

 point arbitraire de U passent /< courbes, dont chacune coupe /.'en f — 1 

 autres points. On obtient donc 2u{l — 1) coïncidences. 2ß d'entre elles 

 proviennent de courbes qui ont leur point double à l'intersection de L et 

 de L\ et passent par P. Le nombre des courbes tangentes à L' et pas- 

 sant par P est donc 



Considérons maintenant les courbes qui touchent L'. Soit L" une 

 autre ligne droite. Par un point de L" , il passe alors v courbes qui 

 touchent L', et chacune de celles-ci coupe L" en l — 1 autres points. 

 On obtient donc 2i'{t — 1) coïncidences. Quelques-unes de celles-ci provi- 

 ennent des courbes qui ont leur point double à l'intersection de L et de 

 L'\ et qui touchent L'. On peut trouver leur nombre de la manière sui- 

 vante: Par chaque point de L', il passe ß courbes a3'ant leur point double 

 audit lieu, et chacune d'elles coupe L' en / — 1 autres points. Il existe 



