42 KR. BIRKELAND ET TH. SKOLEM. M.-N. Kl. 



donc 2ß{i — 1) courbes ayant ce point double donné et touchant L'. Par 



conséquent 



o = 2v(t— \) — Aß[t— 1} 



sera le nombre de courbes touchant 2 lignes droites. 



Cherchons maintenant le nombre de courbes qui touchent 2 tbis une 

 ligne droite. Par un point de celle-ci passent v — 2/< courbes tangentes 

 en un autre lieu, et chacune de celles-ci coupe la ligne en t — 3 autres 

 points. On a donc entre les points d'intersection simples une correspon- 

 dance {{v — 2ii){t—'à), (v—2a]{t—'å)) ayant 2(v — 2/<j (/ — 3) coïnci- 

 dences. Une courbe ayant un point double sur la ligne là où elle coupe 

 L, coupe la ligne en / — 2 autres points. Si l'on choisit l'un de ceux-ci, 

 ß courbes seront déterminées, chacune coupant la ligne en / — 3 autres 

 points. Il existe donc 2^(/ — 3) courbes ayant un point doublé audit point, 

 et en outre tangentes à la ligne. Le nombre de courbes 2 fois tangentes 

 à la ligne sera donc 



(v — 2^«) it — 3) — 2^î?(/ — 3) == I - 3 V + 4u -f 2ß . 



Nous considérons ensuite une section conique K. Par un point de A' 

 passent 2v courbes tangentes à K, et chacune d'entre elles coupe K en 

 2/ — ^3 autres points. Il arrive donc 4j'(2/ — 3) fois que 2 des 2t — 2 

 points d'intersection simples coïncident. Or la ligne des points doubles L 

 coupe K en 2 points. Une courbe a^'ant un point double en l'un de ces 

 points coupe K en 2/ — 2 autres points. En choisissant l'un de ceux-ci, 

 ß courbes seront déterminées, chacune coupant K en 2/ — 3 autres points. 

 On obtiendra donc 2ß(2t — 3) coïncidences, et il existera Aß{2t — 3) courbes 

 ayant un point double ou à l'un ou à l'autre des 2 points d'intersection 

 de L et de K, et tangentes à K. 



Le nombre de courbes ayant 2 contacts avec K sera donc 



2vm~ 3 ) — Aßm — 3 ) = 2^ — 2 v + 4^ . 



On obtient aussi le même résultat, si l'on fait l'énumération à l'aide 

 d'une section conique dégénérée consistant en deux lignes droites qui se 

 coupent entre- elles. Il existe en effet tout d'abord q courbes touchant 

 chacune des 2 lignes. Il passe en outre par le point d'intersection des 

 lignes r — 2« courbes touchant l'une des lignes, et par conséquent 2v — 4« 

 courbes touchant ou l'une ou l'autre des lignes; mais comme le point 

 d'intersection des lignes est un sommet double, les courbes doivent être 

 comptées 2 fois, de sorte que leur nombre est 4v — 8/< . On a enfin les 

 courbes qui touchent 2 fois ou l'une ou l'autre des lignes. Le nombre de 



