1914- No. 12. UNE MÉTHODE ÉNUMÉRATIVE DE LA GÉOMÉTRIE. 43 



celles-ci est q — 6j'4-H« + 4p*. Par conséquent le nombre de courbes 

 2 fois tangentes à la section conique dégénérée sera 



Q -\- év — 8a -\- Q — 6v 4- 8« -f- 4,:? = 2^ — '2i' -\- Aß. 



Soit maintenant C^ une courbe du 3e ordre avec rebroussement. Par 

 un point de Cl passent ov-{-u courbes touchant C3 en un autre lieu, et 

 chacune de ces courbes coupent C'3 en 3/ — 3 autres points. Il arrive donc 

 2(3j' -f- ,")(3^ — 3) fois que 2 des points d'intersection simples coïncident. 

 Pour trouver le nombre des courbes 2 fois tangentes, nous devons sous- 

 traire le nombre des courbes tangentes et passant par le rebroussement, 

 ainsi que le double du nombre des courbes ayant un point double sur C3 

 et tangentes à celle-ci. On doit alors diviser par deux le nombre ainsi 

 obtenu. 



Chaque courbe passant par le rebroussement coupe la courbe C3 en 

 3/ — 2 points difterents du rebroussement. Si l'on choisit un de ces points, 

 u courbes, dont chacune coupe C3 en Si — 3 autres points, seront déter- 

 minées. 11 y aura alors 6/1 (i — 1 ) coïncidences. Or C3 est coupée par la 

 ligne des points doubles L en 3 points. 11 existe ß courbes ayant un 

 point double en l'un de ces points et passant par le rebroussement. Le 

 nombre de courbes tangentes et passant par le rebroussement sera donc 



louit— D— 6ß = 3j'. 



Une courbe ayant un point double en l'un des 3 points d'intersection 

 de C3 et de L sus-nommés coupe C3 en 3/ — 2 autres points. En choi- 

 sissant un de ceux-ci, ß courbes seront déterminées, chacune coupant C3 

 en 3/ — 3 autres points. On obtient alors 6ß{t—\) coïncidences. Il y a 

 cependant ß courbes passant par le rebroussement. On obtient donc 

 6ß(l — 1) — ß courbes tangentes avec point double à l'un des 3 points 

 nommés. 



Le nombre de courbes 2 fois tangentes sera donc 



(Sv H- .H) (3/ —S)—^^v— ISßif —l)-h Sß = ^o-\-6ß. 



Or, d'après le théorème 3, le nombre de courbes de la famille donnée 

 ayant 2 contacts avec une courbe de l'ordre nt, de la classe n et ayant 5 

 rebroussements, doit généralement être de la forme 



Å^(m, n, s) = ^ ;//- + v)uii -f- '^ fi~ -f- (i»' -I- ^" -]r ^^ • 



