44 KR. BIRKELAND ET TH. SKOLEM. M.-N. Kl. 



Nous aurons donc pour déterminer les coefficients a, h, c : 



|-H« = |-3r + 4« + 2,'y 



2o -\- 4v-\- 2u -\~2a -\- 2ö = 2o — 2v -\- 4ß 



q 9 



2 ," -f 3a + 3/. 4-^ = 2 



I ? + 9,' + ^ // -f 3a -^U^c = Iq + 6/i . 



D'où l'on obtient 



a = 4/< —31^ + 2;^ 



h = — 5u 

 _ 3 



La formule générale sera en conséquence 



o 



Xdn, II, s) ^= ^ ;«- -{- vtnn -\- ir -\- (4u — 3?» H- 2ß)m — 5//// — -us 



Problème 6. Nous allons par la suite prendre deux exemples de la 

 manière dont on peut trouver le nombre de courbes dégénérées d'une 

 famille. 



Cherchons le nombre de lignes doubles de la famille de sections coni- 

 ques qui passent par 2 points donnés, touchent une ligne droite donnée 

 et touchent en outre une courbe donnée ui, ii, s. Il est évident que ce 



nombre sera de la forme 



am , 



si seulement nous pouvons démontrer que ceci se trouve déterminé par 

 l'ordre ;;/ seul; car le nombre est primitif par rapport à la courbe m, >i, s. 

 On peut démontrer de la manière suivante que le nombre est déterminé 

 par l'ordre seul : 



Supposons que la courbe ;;/, //, 5 se déforme continuellement vers une 

 forme limite, à laquelle il se présente un nouveau point double. Les sec- 

 tions coniques se modifieront en même temps, et en prenant la position 

 limite nommée, toutes les sections coniques qui passent par le point double 

 se sépareront de la famille. Or en général il ne se trouve aucune ligne 

 double parmi celles-ci, et par conséquent le nombre des lignes doubles 

 ne se modifiera pas. Il en est de même lorsqu'une dégénération donne 

 lieu à un nouveau rebroussement. Par conséquent le nombre des lignes 

 doubles pour chacune des courbes de_ l'ordre ;;? sera le même que pour 

 une courbe de l'ordre ;// qui, considérée comme lieu de points, n'a pas de 

 singularités, ou, si l'on veut, le même que pour un système de ;// lignes 

 droites, de sorte qu'il est donc déterminé par l'ordre seul. 



