1914- ^O- 12. UNE MÉTHODE ÉNUMÉRATIVE DE LA GÉOMÉTRIE. 45 



Si l'on choisit ;;/ = !, on trouve facilement, à l'aide du principe de 

 correspondance de Chasles, que le nombre des lignes doubles est 4. (\'oir 

 Clebsch, Vorlesungen über Geometrie, B. i, p. 393). L'expression générale 

 de ce nombre est donc 



A proprement parler c'est une ligne double, qui entre 4;;/ fois dans 

 la famille donnée, ou en d'autres termes 4;;/ lignes doubles coïncidentes. 



Il est en outre clair que le nombre de lignes doubles parmi les sec- 

 tions coniques qui passent par 2 points et touchent aussi bien une courbe 

 de l'ordre iii^ qu'une courbe de l'ordre iih , sera 



4 iiii 1H2 . 



En eftet ce nombre est également déterminé seulement par le nombre 

 d'ordre des courbes, ce que l'on reconnaît de la même manière que 

 ci-dessus, et il doit donc être de la forme aiii^iii.-, (théorème 2). On 

 obtiendra en outre 4;;/j pour ;//., = !, de façon que ^' = 4. 



Suivant le théorème 3, le nombre de lignes doubles dans la famille 

 de toutes les sections coniques qui passent par 2 points donnés et touchent 

 en outre 2 fois une courbe de l'ordre in, doit être de la forme 



'2)11- -\- am, 



vu que l'on peut également ici considérer comme évident que le nombre 

 est déterminé par l'ordre seul. Si l'on choisit maintenant 2 lignes droites, 

 on aura /;/ = 2, et le nombre des lignes doubles sera 4, suivant la formule 

 que l'on vient de trouver 4///j;;/o, et qui peut en effet être appliquée ici, 

 en posant /;/, =;;;., == 1. On obtient donc 



8 -f- 2a = 4, 

 d'où 



Le nombre de lignes doubles de la famille considérée sera donc 



2)inm — 1). 

 A l'aide de ce nombre on pourra résoudre le problème suivant: 



Problème 7. Trouvez le nombre de sections coniques qui, passant 

 par 2 points, touchent une ligne droite et ont en outre 2 contacts avec 

 une courbe de l'ordre ;;/, de la classe « et ayant 5 rebroussements. 



Comme il existe, parmi les sections coniques passant par 2 points et 

 touchant une ligne droite, des lignes droites doubles, ce problème n'entre 



