46 KR. BIRKELAND ET TH. SKOLEM. M.-N. Kl. 



pas dans le cadre du problème 4. Par contre, on sait que, d'après la 

 formule qui a été trouvée dans le problème 4, le nombre de sections 

 coniques passant par 3 points et a3^ant 2 contacts avec la courbe ;;/, ;/, 5 est 



1 -^ 



2iii'^ -{- 2iui/-\- ^ «2 — 2;;/ — ofi — s. 



Soit maintenant L une ligne droite donnée, alors que nous considérons 



les sections coniques qui passent par 2 points donnés et touchent 2 fois 



la courbe m, n, s. Par tout point de L, il passe donc 



1 3 



2;;/- -)- 2)mi + ^ ;/- — 2m — 5« — -s 



sections coniques de la famille, et chacune coupe L en un autre point. 



On obtiendra donc sur L une correspondance ayant 



4;«- 4" 4w/;/ -}- n- — 4;;; — 10« — 85 



coïncidences. Celles-ci proviennent en partie de sections coniques tangentes 



et en partie des lignes doubles qui se trouvent dans la famille de sections 



coniques considérée. Nous avons trouvé que le nombre des lignes doubles 



était égal à 



2m(m — 1). 



Il s'ensuit que le nombre de sections coniques passant par 2 points, 

 ayant i contact avec une ligne droite et 2 contacts avec une courbe ;;/, w, 5, est 

 2w- -f- 4;;/;/ -|- ïfi — 2m — 10« — 85. 



Nous pouvons ainsi dresser le petit tableau suivant, où N u,v (/t< -|- y = 3) 

 désigne le nombre de sections coniques passant par // points, touchant v 

 lignes droites, et ayant en outre 2 contacts avec une courbe ;;/, ;/, 5, /. 



A^3.o = 2;;/2 -)- 2mn + ^ n- — 2m — hn — 's = 



, 1 o 13 1 3 . 



= 2m- -\- 2mn + ^ w- — m — - « — ^i 



Â À d, ^ 



^i,\ = 2m'^ + \mn + n^ — 2m — lOw — 3s = 2m^ -\- ^mn -j- «"^ — 1 1 '" — " — 3/ 

 A^,2=;;/2 -|- 4;;7;/_|_9;;2 — jQw/ — 2« — 3i = Hl" -\- imn -{- 2}i'^ — ;// — 11;/ — 35 



1 3 



■iVo.s = ^ m~ -\- 2mn -\- 2)i~ — hm — 2« — —/ = 



1 . , ^ , .. o 1 13 3 



= 2'"" + 2'^'« + 2«- — -g m — Y« — 2 ^* 



Les deux dernières formules se déduisent d^s 2 premières par suite 

 du dualisme. 



Problème 8. Trouvez le nombre de courbes d'une famille dépendante 

 de 3 paramètres, ayant 3 contacts avec une courbe de l'ordre ;;/, de la 

 classe n et ayant 5 rebroussements, alors que nous supposons que les 

 courbes de la famille qui ont des points singuliers ne forment qu'une famille à 



