1914- ^O- '2. UNE MÉTHODE ÉNUMÉRATIVE DE LA GÉOMÉTRIE. 47 



deux paramètres, et qu'aucune des courbes ne dégénère de telle façon qu'il 

 se présente des courbes doubles. Soit / l'ordre des courbes. Soit en outre 

 // le nombre des courbes de la famille donnée passant par 3 points, 

 )' le nombre des courbes passant par 2 points et touchant i ligne droite, 

 o le nombre des courbes passant par i point et touchant 2 lignes droites, 

 (7 le nombre des courbes touchant 3 lignes droites. 



On obtient donc naturellement, en vertu du principe de correspon- 

 dance de Chasles 



r = '2u{f — 1), o = 2»' (/—11, (T=-2o(/ — 11. 



Nous pouvons maintenant démontrer tout d'abord que le nombre de 

 courbes aN'ant 2 contacts avec une courbe (;//,, ;/,, 5,1 et i contact avec 

 une courbe i;«.^, n^, s 2) est 



iV(»;j,;/i,s, ; ///^,, ;/.,,52 l =l-;«.2 + ^;/., \»i\ +(0;;/., H- i'}i.,)»i^>i^ -\- 



— 5(v;;/., + un^))i^ — ^^ '''"'2 + /'"î'^'i- 



C'est ce qui ressort de la formule générale trouvée au problème 4, 

 en remarquant que les courbes de la famille à 3 paramètres ici donnée 

 qui remplissent la condition de toucher la courbe {))i.,, u.^, s.,), forment 

 une famille à deux paramètres, pour laquelle les nombres caractéristiques 

 u, V, o mentionnés au problème 4 ont respectivement les valeurs 



ce que l'on reconnaît en employant la formule donnée au problème i. 



Soit y{))i. n, s) le nombre cherché des courbes qui touchent en 3 



points une courbe (;//, ;/, s). L'équation fonctionelle suivante doit donc se 

 produire 



de sorte que le nombre cherché est de 3e espèce. A(/;/, ;/, 51 est donc 

 (théorème 4) une fonction du 3^ degré de ;;/,;/, 5. On voit d'une manière 

 presque immédiate que les membres du 3e degré doivent être 





6 2 2 '6 



de sorte que nous pouvons écrire 



Xiiii, N,s) = V >''"^ + ^ >>'''' -H 9 >""' + • "'^ + ^'^'"' H~ ^'"" + Cil- + D>Hs 4- 

 + Eus -j- Fs- + Gni + H>i -h Is, 



