48 KR. BIRKELAND ET TH. SKOLEM. M.-N. Kl. 



VU que nous savons aussi qu'il ne peut se trouver aucun membre indépen- 

 dant de ni, II, s. En introduisant cette expression de Nijn,ti,s) dans 

 l'équation fonctionelle, et en omettant les membres qui s'évanouissent, on 

 obtient l'équation 



A ■ 2iii^ni2 -\- B {}ii^n.2 -\- »i.jHx ) -\- C • ^n^ii.^ -\- Diiii^s.^ -\~ ;;/.2S, ) + 



-j- Ein^s^-^- >i2Si)-\- F- 25iS2 = (8v— 6o)/;/,;/;.2-j- (4/< — 8i')(;«j//^, + /;/.,//i ) — 



3 3 



— lOfiJi^n^ — ^''•'"l'^a + "'■J^^) — .S iti/i^s^ + //2'^l '• 



D'où 



3 3 



A = 4ï^ — 3o, B = 4/< — 8j', C = — ou, D = ~ ^v, E = — ^ //, F = 0. 



On aura donc 



Xiiu,u,s)= T iii'^ + -^ }"''>i + -, '"^^" 4- ^ «^ + i^v — 3o)///2 -f f4« — 8v)inn — 

 b 2 2 b 



3 3 



— bun- — Jv;/5 — i^it"^ + G;// + ^" "h ^•5- 



Pour trouver les trois coefficients G, H, I, nous déterminons, à l'aide 

 du principe de correspondance de Chasles, le nombre A" d'une ligne droite, 

 d'une section conique et d'une courbe C3. 



Les courbes étant d'ordre/, il passera par 2 points d'une ligne droite une 

 famille de courbes dépendantes d'un paramètre dont chacune coupera la ligne 

 en / — 2 autres points. En choisissant l'un de ceux-ci, /< courbes seront dé- 

 terminées, chacune coupant la ligne en / — 3 autres points. Il y a donc 

 2« {t — 3) =^ V — 4« coïncidences, de sorte qu'il existe v — 4« courbes tan- 

 gentes passant par 2 points de la ligne. Si l'on tient l'un de ceux-ci 

 immobile, il passera donc, par un point arbitrairement choisi ailleurs sur 

 la ligne, v — 4« courbes tangentes, dont chacune coupera la ligne en / — 4 

 autres points. On obtiendra donc une correspondance ayant 2 (v — 4«)(/ — 4) = 

 o — luv + 24 a coïncidences. Par un point donné de la ligne, il passe 



donc " — hv -\- 12 a courbes 2 fois tangentes, et chacune de celles-ci coupe 



en outre la ligne en / — 5 points. Par conséquent les courbes 2 fois tan- 

 gentes donnent lieu à une correspondance ayant (o — 10 v + 24«)(/— 5) = 



^ — 9o -I- .52r — 96» coïncidences. Le nombre des courbes 3 fois tan- 

 gentes sera donc 



g — 3o -f -g-î' — 32/<. 



En appliquant le même raisonnement à une section conique, on trouve 



que le nombre de courbes ayant 3 contacts avec celle ci est 



4 4 44 



,<(2/— 3)(2^ — 4)(2/'— 5) = ^ff — 80 + -^v — 8«. 

 3 ' ' 3 o 



