I9I4' No. 12. UNE MÉTHODE ÉNUMÉRATIVE DE LA GÉOMÉTRIE. 49 



Par 3 points d'une C. passent u courbes, dont chacune coupe la 

 courbe C3 en 3/ — 3 autres points. Par 2 points il passe donc 2 /H 3/ — 3) = 

 3)' courbes qui coupent C3 en 2 points coïncidents. Parmi celles-ci, il y 

 en a 11 qui passent par le rebroussement. Par conséquent il passe 3)' — a 

 courbes tangentes à C3 par les 2 points. Chacune de ces courbes coupe 



en outre C3 en 3/ — 4 points. Il en résulte que, par un point de C3, il 



9 9 



passe (3j' — u l (3/ — -^ ' = ^ ? — ^ '' "+■ ," courbes qui touchent C3 ^^ la cou- 

 pent en outre ailleurs en 2 points coïncidents. Quelques-unes de celles-ci 

 passent par le rebroussement. Le nombre de celles-ci peut être trouvé 

 ainsi. Une courbe passant par un point ordinaire de Cl et par le re- 

 broussement, coupe C3 en 3/ — 3 autres points. Il y a donc 2</ ("3^ — 4) = 

 3)' — 2u courbes tangentes qui passent par le point choisi et par le re- 

 broussement. Le nombre des courbes 2 fois tangentes et passant par un 

 point donné de C3 sera donc 



99 3 ^ 



9O— ^»' + ," — ^'' + ," = ^0 — 6>'+ 2u. 



Chaque courbe 2 fois tangente et passant par un point de Cl coupe 

 cette courbe en 3/ — 5 autres points. Le nombre de coïncidences sera 



maintenant 



27 

 (9o— 12r +4//)i3/'— 5)= ;^ (7— 36ê> + 30j'— 8«. 



Nous devons en outre trouver le nombre de courbes 2 fois tangentes 

 passant par le rebroussement. Nous venons justement de trouver que le 

 nombre de courbes tangentes passant par le rebroussement et un point 

 quelconque sur C3 était égal à 3v — 2u. Chacune de ces courbes coupe 

 C3 en ot — 5 autres points. Le nombre de coïncidences sera donc égal à 

 (6v — 4«) (3/ — 5)=9ê> — 18r -|- 8« et le nombre de courbes 2 fois tan- 

 gentes passant par le rebroussement sera 



9 



-Q — 9v-\-iu. 



Le nombre de courbes 3 fois tangentes à C3 sera donc 



9 8 3 4 9 27 



-o—\2q-\- lOv — -u —- q -\- Sv — -a =-a— — Q-\- 13»' — 4«. 



Pour déterminer les coefficients a. b, c, on a alors comme dans les 

 problèmes précédents 3 équations, d'où l'on obtient 



G = ^ï' — 32//, H=^u, I=l3u. 



à à 



Vid.-Selsk. Skrifter. I. M.N. Kl. 191 4. No. 12. 4 



