KR. BIRKELAND ET TH. SKOLEM. M.-N. Kl. 



La formule générale sera donc 



u 



b 2 2 o 



(ifi — 8 v) iiiH — 5 un- — ^ vins — — uns -\- (—■ v — 32 //) ni -\- ^ //« +13 fus. 



Comme exemples on peut citer les suivants: 



Le nombre de courbes du 3e ordre, qui, considérées comme lieux 

 de points, n'ont pas de singularités, passant par 6 points donnés et a^^ant 

 3 contacts avec une courbe (w, ;/, s], est égal à 



32 1 



— - nv^ -\- 8 m-n -\- 2 ////;- -|- — 7/'' — 32 ///- — 28 nni — 5 ;/- — 6 nis — 

 3 b 



3 64 , 88 , ,„ 



— ^ "S -\- m -\- -— « 4-135. 

 2 o .-3 



Si l'on prend les courbes du 3e ordre, dépourvues de points singuliers, 

 passant par 5 points, touchant une ligne droite et touchant 3 fois une 

 courbe {ni,n,s). on obtient justement le nombre quadruple. 



Problèmes uictnqties. 



Après avoir exposé ce qui précède, nous abandonnons les problèmes 

 de contact pour montrer dans ce qui suit l'application de la méthode aux 

 problèmes métriques. 



Problème 8. Trouvez l'ordre d'une courbe, qui est le lieu géométrique 

 des points d'où la somme des carrés d'une normale à une courbe d'ordre 

 ;;/. et de classe ;/. et de la distance à un point donné est constante. 



On peut démontrer de la manière suivante que le nombre est déter- 

 miné seulement par les nombres d'ordre et de classe d'une courbe donnée: 



Supposons que la courbe donnée varie continuellement vers une forme 

 limite, à laquelle elle obtient un point double de plus. Il se rassemble 

 alors de chaque point 2 normales au point double, et par conséquent il 

 s'élimine hors du lieu géométrique 2 fois le lieu géométrique des points 

 d'oîi la somrrie des carrés des distances du point donné et du point double 

 est constante. S'il se présentait un rebroussement, un tel lieu géométrique, 

 qui d'ailleurs est un cercle, serait éliminé 3 fois. Un point double réduit 

 donc de 4, un rebroussement, de 6, l'ordre du lieu géométrique cherché. 



Le nombre A" cherché étant primitif, nous devons pouvoir écrire 



^V = ani -\- hn -\- es. 



