1914- ^O- 12. UNE MÉTHODE ÉNUMÉRATIVE DE LA GÉOMÉTRIE. 



Mais d'après ce qui vient d'être dit. les 2 équations suivantes doivent 

 se produire: 



a)}i -\- b(ii — '2) -\- es = ani -\- bn -\- es — 4 

 am A^ b\n — ^3) -l-c(5 -f- 1) == <^>^^ + bii -\- es — 0. 



D'où l'on obtient 



/; = 2 6- = 0. 



On trouve le coefficient «, en choisissant ;;/ = l, // = 5 = 0. c. à d. 

 une ligne droite. Dans ce cas, le lieu géométrique sera une section conique. 

 On a donc a = '2. Si, d'ailleurs, l'on sait seulement que le nombre N 

 est indépendant de 5, et par suite de la forme 



uN' — a»i -f- bii, 



on peut trouver b en choisissant /// = 0, // = 1, c. à d. un point. Le lieu 

 géométrique sera alors un cercle, et l'on obtient é = 2. 



La formule est donc 



.V ^ 2 ( /// -f- // 1, 



Problème 9. Trouvez l'ordre du lieu géométrique des points situés 

 de telle taçon que la somme des carrés d'une normale à chacune de 2 

 courbes données est constante. Soient 2 courbes dont l'une est de l'ordre 

 /;/], et de la classe ;/,, et l'autre de l'ordre m.^, et de la classe n.^. 



En suivant un raisonnement analogue à celui du problème précédent, 

 on trouve que le nombre cherché est une fonction exclusivement des nom- 

 bres d'ordre et de classe. Comme le nombre est primitif par rapport à 

 chacune des 2 courbes, on a, suivant le théorème 2, 



X^ am^ m., -f- b[in^ ii^ + '}'., 'i\ ) 4" eii^ n^. 



Pour ///2=0, //2 = 1, la formule se réduira à 2(///j -f-",), suivant 

 le résultat du problème précédent. On obtient donc b = c ^= 2. Si l'on 

 choisit ;7/j =;//2 = 1> "1 = ''2 ^ "^' ^^ ^i^^ géométrique sera alors égale- 

 ment une section conique. Par conséquent a est aussi égal à 2, et on 



obtient 



A' = 2 ( /// j -|- // j ) ( ;// ., -J- « 2 '• 



Problème 10. Trouvez l'ordre du lieu géométrique des points d'où 

 les carrés de p normales. 1 à chacune des p courbes données {m ^,11^), 

 {»i.>,ii.)) • ■ • {uip, )ip), possèdent une somme constante. 



Ce nombre étant primitif par rapport à chacune des p courbes et 

 comme il est certain qu'il n'est déterminé que par les nombres d'ordre et 

 de classe, nous avons, suivant le théorème 2, 



X^aïu^m^ ■ • ■ nip-\- bn^ni., ■ • ■ nip-}- • • • -f- k/iiii.^ • • ■ fip. 



