52 KR. BIRKELAND ET TH. SKOLEM. M.-N. Kl. 



Chaque coefficient s'obtient maintenant en choisissant les courbes 

 comme lignes droites et points. Si l'on choisit p. ex. toutes les courbes 

 comme lignes droites, on obtient }\ = a = 2, puisque le lieu géométrique 

 sera une section conique. De même, on obtiendra tout autre coefficient 

 égal à 2. La formule générale sera donc 



Problème ii. Trouvez l'ordre du lieu géométrique des points d'où 

 la somme des carrés de «, normales à une courbe (/;/j,;/, ), de a.^ normales à 

 une courbe (111.2,11.)), • • • de «,, normales à une courbe!;//^, 7ip) est constante. 



Nous pouvons facilement trouver le nombre cherché en remplaçant 

 chaque courbe (nir, fir) par iiir lignes droites et «^ points. Les ür normales 

 peuvent alors être réparties d'une manière arbitraire à «,• parmi les nir-j-rir 

 lignes droites et points. Si l'on s'imagine que l'on fait un tel choix arbi- 

 traire pour chaque valeur de r. de 1 à />. le lieu géométrique sera une 

 section conique. Le nombre de ces choix sera toutefois égal à 



'"■2 ~t~ "-A ('"r + "/' 



a., y ■ ■ ■ V «/> 



et le lieu géométrique total consistera donc en juste autant de sections 

 coniques. L'ordre cherché sera en conséquence 



p 



^n 



Xr = iiir -\- iir désignant le nombre de normales que l'on peut tirer d'un 

 point arbitraire à la courbe (;;/,-. ;/^). 



Comme on le voit, ce nombre est une fonction de degré cty des nom- 

 bres ))ir et ;/,-, ce qui est bien en conformité de ce fait que le nombre est 

 de l'espèce Ur par rapport à la courbe {nir.i/r). 



11 est évident que la classe de ce lieu géométrique, elle aussi, est 

 i> 



égale à 2[ I f " '^j. Le nombre de rebroussements et aussi le nombre d'in- 

 1 



flexions doivent par contre être généralement égaux à 0. En outre, le nombre 

 de points doubles sera alors égal au nombre des tangentes doubles.. Ces 

 courbes correspondent donc, au point de vue du dualisme, à elles-mêmes. 

 Si l'on choisit spécialement a,- = nir -+- //,-, c. à d. si l'on considère le 

 lieu géométrique des points d'où la somme des carrés de toutes les nor- 

 males que l'on peut tirer à chacune de certaines courbes données est con- 

 stante, on a pour résultat que l'ordre et la classe de ce lieu géométrique 

 sont égaux à 2, c. à d. c'est une section conique. 



