1914- ^O. 12. UNE MÉTHODE ÉNUMÉRATIVŒ DE LA GÉOMÉTRIE. 53 



Cette proposition a été algébriquement démontrée par Birkeland dans 

 un traité publié dans le Monatshefte für Mathematik und Physik, Vienne, 

 1890, fascicules ii — 12. 



Problème 12. Trouvez le nombre de points doubles du lieu géométri- 

 que considéré au problème 8. 



Désignons ce nombre par (Hm, n). On aura alors 



<•/(/;/! -\- /II. y, 11^ -^- II.,) — diiii^,)!^) -\- (h 111.^^,11.,] -\- AdHy + Il ^){m,^ -\- 11.^), 



4(;;/j -\-u^)(in., -t- ;/.,) étant en effet le nombre de points d'intersection des 

 2 lieux géométriques que l'on obtient pour les courbes (///j,//, ) et (;;/2, "2)- 

 Suivant le théorème 3, il faut donc que 



dim, II) = 2(/// -|- //)- j- am -f- ùii. 



Tant pour m ^ 1, // = que pour ;;/ = 0, ;/^ 1, on a le nombre 

 de points doubles égal à 0. D'où l'on voit que a = b = — 2, et par con- 

 séquent 



dim, II) = •2{)n -\- 11) {m -f- // — 1 ). 



Puisque le nombre des rebroussements est égal à 0, nous aurions pu 

 également nous servir de la première formule de Plïicker pour trouver 

 d{in,n). On obtient alors 



dim, II) = )y\-2m -{-2ii)(2m + 2n — 1 ) (/// 4- //) = 2(;;/ ■\- 11) (m + ;/ — !), 



par conséquent le même résultat. 



Le nombre des tangentes doubles est naturellement le même. 



Problème 13. Trouvez l'ordre du lieu géométrique des points d'où 

 la somme de p normales, une à chacune des /»courbes données {iii^,ii^), 

 (ni.;,,}!.)) • • •{iiip,fip), est constante. 



Ce nombre étant primitif par rapport à chacune des courbes, il peut 

 s'exprimer ainsi : 



A' = am^in.y ■ • ■ iiip -\- hii^ni.^ ■ • • iiip 4- • • • -j- kii^n.2 • • ■ iip. 



Chacun des coefficients s'obtient en choisissant les p courbes comme 

 lignes droites et points. On trouve maintenant que l'ordre du lieu géomé- 

 trique, dans tous ces cas, sera 2P; si p est un nombre pair, il faut alors, il 

 est vrai, compter également des points infiniment éloignés. Nous obte- 

 nons donc 



p 



A' - 2P[\^{lllr + nrl 



