54 KR. BIRKELAND ET TH. SKOLEM. M.-N. Kl. 



Or la ligne droite infiniment éloignée entrera dans le lieu géométrique 

 des points d'où la somme des distances de p points donnés est constante, 

 lorsque p est un nombre pair. Si l'on ne compte pas la ligne droite in- 



finiment éloignée, l'ordre ne sera plus 2P, mais 1^ — / - comme nous al- 



Ions le démontrer ci-après. Par contre la ligne droite infiniment éloignée 

 n'entre pas dans le lieu géométrique des points d'où la somme des di- 

 stances d'une ou de plusieurs lignes droites, outre de certains points, est 

 constante. Si donc, lors de la détermination des coefficients a, b, • • • , k, 

 on supprime la ligne droite infiniment éloignée, on obtient tous les coeffi- 



cients égaux à 2'', à l'exception de k, qui est égal à 2'' — ( /^ 1 • O'i ob- 

 tient donc alors la formule 



.V=2PP] <'".-+ 'M— p W^^ir, 



qui donne l'ordre, si l'on ne compte pas la ligne droite infiniment éloignée. 

 On peut démontrer que l'ordre du lieu géométrique des points dont 

 les distances de p points donnés ont une somme constante, est 



lorsque p est un nombre pair, de la manière suivante: 



Soit (.V, V) un point appartenant à ce lieu géométrique, et Lxx, }\), i.X2,yi), 

 •••{xp,yp) les points donnés. L'équation du lieu géométrique sera alors 



r 



^^S(X — Xrf + (^ - yrf = k . 

 1 



Pour trouver l'ordre, nous pouvons chercher le nombre des points 

 d'intersection avec la ligne y = /x -\- b . 



Les points d'intersection sont alors donnés par l'équation 



p . 



y] V (.V — .v,)-^ + (7.V + b ~-y^\' = k . 



J 



Si l'on divise partout par .v, on obtient 

 p 



sY(-?)>('+*^T=: 



