1914- No. 12. LNE MÉTHODE ÉNUMÉRATIVE DE LA GÉOMÉTRIE. 55 



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OU, SI nous posons — = s , 



.V 



p 



2^ V(1-a:,.s)^ + (/ + (7.-jvÏÏ)2 - ^3 = 0. 



^^^ ... 



Or il est possible, de I /> 1 manières, de choisir les signes des radicaux 



carrés de telle façon qu'il y ait autant de signes -\- que de signe — . Or 

 à chacun de ces choix, z = sera une racine de la dernière équation, et 

 par conséquent .v = oo sera une racine des précédentes équations. Au 



total .V = 00 est donc racine un nombre de fois égal a I /> I, et par consé- 

 quent la ligne droite infiniment éloignée entre un nombre de fois égal à 

 I p I dans le heu géométrique. 



Comme contrôle de la formule trouvée, on peut faire les considérations 

 algébriques suivantes, dans le cas où /> serait égal à 2, et où l'une des 

 courbes serait un point. Soit li', rj) le point, l'autre courbe étant de l'ordre 

 ;;/ et dépourvue de points singuliers. 



Soit 



Fix, y) = 

 l'équation de la courbe. 



Si maintenant (.v, y) est un point appartenant au lieu géométrique 

 cherché, les 3 équations suivantes doivent subsister: 



(I) F(xi,y,)^() 



2yi dxi 



(3 » (4 ('? — -vi >■- — 4/^--^) -v- 4- 8 (| — xi ) ( >; — yi ) xy + (4 it] — y^ i^ — 4k^)y- + 

 (4(; — .v,)UÏ -\-yi - ^^— j;^) + 4^^i^ + x, ))x -f- 



C-v? +>'ï - 5^ - ri- - 2khxi -\-yi + ^^ + ,f) + k^ = 0, 

 la dernière équation étant l'équation 



Vf.r — Xif-\- {y —yi )^ + V(-v - |l- -\- {y — r;)'^ = k 

 amenée à sa forme rationnelle. 



