56 KR. BIRKELAND ET TH. SKOLEM. M.-N. Kl. 



Les 3 équations déterminent le lieu géométrique. Pour trouver l'ordre, 

 nous pouvons chercher le nombre de points d'intersection avec la ligne 

 y ^= Ix -^ b. De l'équation (2) on obtient alors 



dF dF BF , 



(2') V = ''^^ ^^ '^ = '^'"(^^'•y^) 



dF_dF^ ip,n-i(xi, yi) ' 



où rf,„ est une fonction du degré ;//, (/;„,_i une fonction du degré (/;/ — 1). 

 En introduisant cette expression de x dans (3), on obtient une équation 

 en .vi, yi, du degré 2;// -f 2. Or (i) étant du degré ///, il existe (2nt-{-2)in 

 couples de valeurs .vi, yi, qui satisfont en même temps à ces 2 équations. 

 A chaque couple de valeurs .vi, yi , on obtient de (2'j une — et une 

 seule — valeur de .v. Par conséquent l'ordre de la courbe cherchée est 

 égal à 



2iii{i/i -)-]) = 4iii + 2/1, 



\'U que pour une courbe qui, considérée comme lieu de points, n'a pas 

 de singularités, 11 = iiiiiii — 1). Comme l'on voit, ceci correspond à ce 

 que l'on obtient de la formule générale trouvée ci-dessus. 



Problème 14. Trouvez l'ordre du lieu géométrique des points d'où 

 la somme de ai normales à une courbe (iiix, //j), de uo normales à une 

 courbe iiii-i, ;/o), etc. jusqu'à ap normales à une courbe (/;//,, /ip), est 

 constante. 



Si l'on s'imagine que chaque courbe (fiir, n,) est remplacée par un 

 système de ut^ lignes droites et de iir points, on remarque que les ctr 



normales à la courbe (;;/,,//,.) peuvent être choisies de ( '' *"] différentes 

 manières. Si l'on suppose qu'un tel choix est fait pour chaque r, on 

 obtient évidemment le lieu géométrique des points d'où la somme des 



distances à qi lignes droites et à q.^ points est constante, q^ -f q-i étant 



p 



P ^ 2'r«'- 



égal à Ir^r- Or l'ordre de ce lieu géométrique est 2^ ; mais l'on 

 1 



p 

 doit toutefois compter des points infiniment éloignés, dans le cas où Er^r 



1 



est un nombre pair. L'ordre du lieu géométrique total sera en conséquence 



p 



