58 KR. BIRKELAND ET TH. SKOLEM. M.-N. Kl. 



OÙ (.vv, jVr) sont les points donnés, montre que, si l'on choisit un point (x, y) 

 sur la ligne, il existe sur cette même ligne 2 points (|, /;), qui satisfont à 

 l'équation. Il en résulte que la ligne doit être comptée 2 fois. 



En effet, lorsque, d'un point P appartenant au lieu géométrique, on 

 peut tirer 2 tangentes de même longueur, à l'une des courbes données, 

 P entre 2 fois dans le lieu géométrique, c. ä d. P est un point double. 

 Dans le présent cas, chaque point de la ligne sera un point double, ou 

 encore la ligne devra être comptée 2 fois. 



On aura donc a = 2, et 



N= 2(';«i;/o«:i • • • Wp -h »hiiitis • ■ • iip-\- + »^p^i^h ' • • 'ip-i + Jh^to • • • ^'p) 



ou, si l'on veut, 



.^ = 2 h H h - + 1 ) wi«2 • --fip- 



\;/i I/o Up I 



Cette formule, de même que la formule que nous avons trouvée au 

 problème 10, a été trouvée antérieurement par Catalan. (Voir Bull, de 

 Belg. (2) XLII, 483-486). 



Problème 16. Trouvez l'ordre du lieu géométrique des points d'où 

 la somme des carrés de ci\ tangentes à une courbe {in\ , rix), de «o tangentes 

 à une courbe {m>, n-,), etc. Jusqu'à et y compris up tangentes à une courbe 

 [Dip, Jip) est constante. 



Nous pouvons de nouveau nous imaginer la courbe {mr,nr) (r=l, 2, 

 . . . , p) remplacée par un système de nir lignes droites et de iir points. 

 Les Ur tangentes à la courbe ;-'^"'* peuvent être choisies arbitrairement à 

 ((r parmi les //,- points, ou a^ — 1 tangentes k Ur — 1 des points et 1 tangente 

 comme une partie le long d'une des ;;/,- lignes droites. Si l'on choisit par 

 contre deux tangentes comme parties le long de deux des lignes droites, on 

 obtient simplement un point qui est de l'ordre 0. Le nombre de manières 

 dont, pour chaque r, on peut choisir Ur points parmi les ;/,- points est 



a : 



Le nombre de manières dont, pour un r, on peut choisir 1 ligne 

 droite parmi les iiir lignes droites, et en outre «r — 1 points parmi les n,- 

 points, tandis que, pour chaque autre r, on choisit Ur points parmi les ii^ 

 points, est 



S. L-on 



