1914- No. 12. UNE MÉTHODE ÉNUMÉRATIVE DE LA GÉOMÉTRIE. 59 



la multiplication par rapport à 5 devant s'étendre à tous les 5, de 1 à p, 

 qui diffèrent de r, ce que la marque du signe du produit devra indiquer. 

 L'ordre cherché A" pourra alors s'écrire 



-v="å-C,;^On;(::)+"a(::). 



Ici b signifie l'ordre du lieu géométrique des points dont les carrés 



des distances de l'y«)- points ont une somme constante. Ce lieu géométrique 



1 



étant un cercle, b est égal à 2, 



En outre, a signifie l'ordre du lieu géométrique des points d'où la 



somme des carrés des distances de ErUy — 1 points donnés et du carré de 



1 



la longueur d'une partie le long d'une ligne droite donnée est constante. 

 Ce lieu géométrique étant, comme il est dit plus haut, la ligne droite donnée, 

 comptée deux fois, a est aussi égal à 2. Par conséquent 



-v=^>(à.-U-.)it(;:;)+n,(:, 



Nous terminons par un exposé d'une généralisation des résultats ob- 

 tenus dans les problèmes 8-14. 



Théorème. Si l'on cherche l'ordre du lien ge'onietriqne des points d'où 

 l'on pent tirer a, normales à une courbe {ni^, 11^), a., normales à une courbe 

 \m.^, n.,), etc. jusqu'à op normales à une courbe (nip, iip), de telle facon que 

 l'équation. 



F(0^, O.,, . . . Oftj, o«] 4-1, Ort) +2) • • • > Qai -(- «o, . . • , ört[ + «o ^ . . . 4- «p ) =0 



ait lieu, Oj . . . Qa^ étant les a, normales à la premiere courbe, Qa\ ^i . . . 

 Q,i^ j- rto les a., normales à la 2'' courbe, etc. et les normales à une seule et 

 nu'me courbe entrant de même façon dans la fonction F, ou trouve que cet 

 ordre est 



où Xi, ,., . . . , désigne le nondtre X, dans le cas où la /""^ courbe est reni- 

 placée par i^ lignes droites et cq — i^ points, la 21^ courbe par i^ lignes 

 droites et u., — i.^ points, etc. jusqu'à la />"'* courbe remplacée par ip lignes 

 droites et Op — ip points, et où l'addition s'étend à tous les systèmes { i y, i. 2, . . . ip) 

 dans lesquels i^ prend successivement toutes les valeurs de 1 à a,, i., toutes 

 les valeurs de 1 à rc.^, etc. jusqu'à ip toutes les -valeurs de 1 à Up. 



Ceci n'est pas difficile à démontrer. L'ordre sera en effet le même 

 que dans le cas où la courbe im,, n,) est remplacée par un système de /;/,■ 



