6o KR. BIRKELAND ET TH. SKOLEM. M.-N. Kl. 



lignes droites et de iir points. Le lieu géométrique que l'on obtient dans 

 ce dernier cas se décompose en effet en certaines parties, attendu que l'on 

 obtient chaque partie de courbe en combinant /, lignes droites et «j — /j 

 points, parmi les ///j lignes droites et ti^ points, qui remplacent la courbe 

 (;«,,«,), avec i^ lignes droites et c(.> — /\, points, parmi les m., lignes et 

 n.y points qui remplacent (»i.^, ii.^), et ainsi de suite jusqu'à ip lignes 

 droites et ap — ip points, parmi les iiip lignes droites et ;/,, points par les- 

 quels {f>ip, rip) est remplacée. Ladite série de nombres /, , i.^ • • • , ip peut 

 alors être obtenue de 



a.^ —i^J ■ • -{ipj \ap — 



manières. L'ordre de chacune des courbes partielles qui appartiennent à 

 cette série de nombres /,, i.^, . . . , ip est en outre .Y,,, ,.„ . . ., . Par con- 

 séquent la somme des nombres d'ordre de toutes les courbes partielles 

 sera égale à 



S^- v(';:')U'i.)(";)U':i.)- 



et ainsi l'assertion se trouve démontrée. 



Si l'on veut, l'on peut exprimer ce nombre plus brièvement de la 

 manière symbolique suivante: 



-v=n,s,,-^'. "" 



fil 



^i^-^i, ' \'i/ \c(i — il 



On veut dire en s'exprimant ainsi que, lorsque la multiplication est 



p 

 taite, on devra ici remplacer chacun des symboles //^ Ai par le nombre qui 



1 ' 



est l'ordre du lieu géométrique, dans le cas o-ù chaque courbe iiiii, ui) est 

 remplacée par // lignes droites et ai — ii points. 



Un cas spécial de cette proposition, savoir la proposition où les nom- 

 bres Qr sont tous égaux à 1, est démontré par G. Fouret, dans C. R. 

 LXXXIII, 603-605. 



Si /" est une fonction rationnelle des carrés des q, chaque A"«,, ,.^, . . . i 

 deviendra égal au cjpgré de F^. 



' Parfois, il est vrai, on doit compter des points infiniment éloignés pour que ceci soit 

 exacte. 



