I912. No. 20. EINE EIGENTÜMLICHKEIT TRANSCENDENTER GRÖSSEN. II 



Schreibt man 



X — qi^ [X — q.,' ■ ■ ■ ■ ■'' — qr = X'' -\- El .r'-'^ -(-.... -|- Er-\ x -\- E,- = G i^x) 



so wird jedes E eine ganze Zahl. 

 Man erhält 



h 



qi 'ii- ■■ 'ir = , ^r , < 77^^ = ly 



G{X) muß eine ganze irreduktible Funktion sein. 

 Hätte man nämlich 



(,\x = F X- Qix'^ 



wo P und Q ganze Funktionen von x mit ganzen Koeffizienten waren, 

 während weder P noch Q eine Konstante bezeichnete, dann müfate der 

 absolute Betrag sämtlicher Wurzeln von P oder (^ kleiner als Eins sein, 

 was indessen unmöglich ist. 

 Eine der Funktionen 



i a: — gi"» {X — q2^ ■ ■ ■ ■ [X — g^^ 

 und 



x-rqi 'X-\-q2 x-{-qr^ 



bildet eine Funktion der gesuchten Art. Ebenfalls die Funktion: 



{x-ql)ix-ql)....i,r-ql), 



wo alle Wurzeln positiv sind. 



§ III. 



Theorem II. 



Sind Q , (>,,•••• Hfid Q eine Reihe von q solchen reellen verschiedenen 

 Größen, daß zwei solche reelle Größen k > 1 und c ."> existieren, daß 

 es möglich ivird für jede ganze positive Zahl ;? eine solche ganze Zahl T„ 

 und zcvei solche reelle Größen /i'„ und c„ zu finden, daß 



eiv; jedes p eine beliebig gegebene reelle, von Null verschiedene Größe bedeutet, 



icäliroid 



I Cnl'^c und kn^k 



da/in bildet jede der Größen g , deren absoluter Betrag größer als Eins 

 ist, eine Wurzel einer ganzen Funktion mit ganzen Koeffizienten. 



