1904. No. 3- SUR LE MOUVEMENT D'UN POINT MATERIEL ETC. 2 1 



En introduisant k = sin 9 = —pr et la valeur de q, on aura donc 



enfin 



Rk 



cos H = 



Vr2 + 3i-2. sin 



Or, sin w est toujours positif. Donc cos u aura le signe de k. Cela fait, 

 projetons la trajectoire sur le plan passant par le rayon vecteur et la 

 tangente; disons que la trajectoire au point considéré est convexe ou 

 concave vers l'origine selon que sa projection est convexe ou concave 

 vers ce point. Dans le premier cas, u sera <[ — , donc cos u sera 

 positif et dans le second cas, cos u sera négatif. 



Donc 



La trajectoire sera convexe ou concave vers V origine seloti que k 

 sera positif ou négatif. 



On voit donc en particulier que dans la partie extérieure de l'espace 

 E {ç, /), pour ■/ <i — I, la trajectoire sera partout concave vers l'origine. 

 Si 7 > 0, la trajectoire sera partout convexe vers l'origine. 



De même, on peut considérer la courbure par rapport à l'axe des s, 

 en cherchant l'angle u^ entre la direction du rayon de courbure princi- 

 pal et la projection sur le plan ^ = o du rayon vecteur au point con- 

 sidéré. 



On trouve alors 



cos Mj = c2 • ^ (r2 — 3^2) ^. 



En appelant la trajectoire convexe ou concave vers l'axe des z, 

 selon que sa projection sur le plan j = o est convexe ou concave vers 

 l'origine, on peut donc dire que 



La trajectoire sera convexe vers V axe des z, si r'^^^:'^ et k ^ O 

 ou bien si r^ <C3z'^ ^t ^' <C o, et au contraire concave vers l'axe des z, 

 si r- '^ 3z^ et k <Co ou bien si r^ <is~^ ^^ ^ ^ O- 



Considérons enfin la courbure par rapport au plan 2 = 0. Appelons 

 la trajectoire concave ou convexe vers l'origine, selon que la direction 

 positive de la normale principale coupe ce plan ou non, c'est-à-dire selon 



d^z 

 que z • -j-j est négatif ou positif. Comme on a 



. 1^ = ^^~ . Rk 

 on voit que: 



