1904 No. 3. SUR LE MOUVEMENT D'UN POINT MATERIEL ETC. 2^ 



ce qui donne d'abord la solution 



dr 



correspondant à la solution particulière dans le plan ^ = o et ensuite 



où A, B, C et D sont des fonctions de /• et de ifj. 



Cette équation est de la même forme que l'équation des lignes geo- 

 desi ques^ d'une surface et on est alors conduit à chercher des surfaces 

 simples sur lesquelles les trajectoires sont des lignes géodésiques et 

 généraliser ainsi le résultat remarquable obtenu par Poincaré pour le cas 

 d'un seul pôle. - 



Quand l'intégration de cette équation est effectuée de manière que 



(/' = (?(/•, Cl, c'2) 



où Cj et Co sont deux nouvelles constantes d'intégration, on n'a qu'a 

 substituer cette valeur dans l'équation de -^ , ce qui donne 



ds = 0^ (r, Cj, Cg) dr 

 d'où 



^' = (?i \y, Cj, c.j) dr -\- Cg 



C3 étant une troisième constante d'intégration. Enfin en substituant 



l'expression de ds dans l'équation de -y-, on aura 



ds 



d(p = ^.^ [r, Cj, C2) dr 



d'où 



(f = \ ^2 ('". Cj, C2) dr 4- C4 



ce qui achève l'intégration des équations de mouvement. On aura en 

 tout 6 constantes arbitraires à savoir c, y, c,, c^, c^ et c^, ce qu'il faut. 

 Le problème exige donc Vintégration d'une équation du second ordre 

 et deux quadratures, c. q. f. d. 



' Voir p. ex. Bianchi: Vorlesungen über Inßnitesimalgeometrie I p. 154 (Traduit par 



M. Lucat). 

 2 Voir 1. c. au commencement de ce mémoire. 



