lO ØYSTEIN ORE. M.-N. K). 



Der Beweis wird idealtheoretisch geführt. Man kann hier nicht, wie 

 es natürlich wäre, denselben Weg einschlagen, den man zum Beweise des 

 ScHÖNEMANN'schen Satzes benutzt hat, denn die Eindeutigkeit der Zerlegung 

 eines Polynoms für Primzahlpotenzmoduln ist nicht für aufeerwesentliche 

 Diskriminantenteiler richtig, ' und in der Tat zeigt das Kriterium von Dede- 

 KiND,2 dafs p hier ein aufeerwesentlicher Teiler sein mufs. 



IL Untersuchungen über die Reduzibilität von Polynomen 



für Moduln. 



§ I. Primzahlmoduln. 



Wenn ein Polynom f\x) im rationalen Bereiche reduzibel sein soll, 

 mufe /(x) auch nach jedem Modul reduzibel sein. Ich will hier die Re- 

 duzibilität von Polynomen nach Moduln untersuchen und zeigen, wie man 

 daraus in vielen Fällen die Reduzibilität oder Irreduzibilität von Poly- 

 nomen entscheiden kann. Es zeigt sich in der Tat, dafà alle Sätze, die ich 

 in meiner Übersicht (I) behandelt habe, darauf beruhen, dafe die behandelten 

 Polynome für einen Modul irreduzibel werden. So ist z. B. ein Polynom, 

 welches den Bedingungen des Satzes von Schönemann oder Eisenstein 

 genügt, schon für den Modul p~ irreduzibel. Ein Polynom, worauf man 

 den Sats von Bauer (I, § 5) anwenden kann, ist, wie man zeigen kann, 

 für den Modul /»" " irreduzibel. 



Um die Bedeutung dieser Bemerkungen ganz klar zu machen, bemerke 

 ich, daß es sehr wohl eintreffen kann, dafs ein Polynom irreduzibel, jedoch 

 für jeden Modul reduzibel ist. 



Dies ist zuerst von Hilbert^ bewiesen, indem er zeigte, dafa ein 

 Polynom 



/4 + 13/2 + 81 



diese Eigenschaft besitzt. 



Für die folgenden Untersuchungen werde ich annehmen, daß die 

 Diskriminante D von f(.x) von Null verschieden sein soll. Wenn D = ist, 

 wird fix) bekanndich reduzibel, und Faktoren von /(x) können leicht ge- 

 funden werden. 



Nehmen wir erstens an, der Modul soll eine Primzahl p sein. Die 

 Zerlegung eines Polynoms für Primzahlmoduln ist ohne Ausnahme ein- 

 deutig. Die Entscheidung, ob /{x) (mod. p) reduzibel ist, kann durch eine 



' M. Bauer : Zur Theorie d. höheren Congruenzen. Math. Ber. aus Ungarn, 20. 



2 Dedekind : Über den Zusammenhang u. s. w. § 3, Göttinger Abhandhmgen 1878. 



3 D. HiLBERT : Über Diophantische Gleichungen. Göttinger Nachrichten 1897, S. 53. 



