1923. No. I. ÜBER DIE REDUZIBILITÄT VON ALGEBRAISCHEN GLEICHUNGEN. I I 



endliche Anzahl von Proben gegeben werden, denn es gibt von einem 

 Grade m nur "p" Pohiionie 



X - b^ X - . . . - b», 



die (mod. p\ inkongruent sind. 



Ich habe in einer Arbeit' gezeigt, daß die notwendige und hin- 

 reichende Bedingung dafür, da6 



/ix) = X -^ a^ X — . . . — rt, _ , x — rt„ 



einen Faktor tmod. ^) von einem Grade hat. der in / aufgeht, ist. da6 die 

 zyklische Determinante von der Ordnung / 



A = Z l<7„, <7„ - I, . . . rtj, 1.0.. . .01 = (mod. p\. 



Dabei ist rt„ ^ Imod. p) vorausgesetzt, d. \\. f\x) soll nicht den Faktor 

 X (mod. p) haben. 



Für die praktische Zerlegung von f\x\ wendet man am besten die 

 Moduln 2 oder 3 an; die irreduziblen Faktoren von f\x\ werden dann 

 durch einfache Rechnungen bestimmt, wenn man die Primfunktionen für 

 diese Moduln kennL So sind z. B. die Primfunktionen Imod. 2» 



Isten Grades x, x — 1 



2ten — X- — x — 1 



3ten — .1^ — .1-^ — 1 . A-^ — X — I 



4ten — X"* — .1-^ — X- — x — 1 . .1"^ — .v^ — 1 , x^ — x — 1. 



Nehmen wir 



/(x) = P[/;U)'' Imod/») 



IM 



an, wo 



r i » " «.- — I 



/, \x) = X — rti, 1 X ' — ... — ai, „._^ X — <?,, M- 



i2\ 



ist. Man karm daher 



/ix) = Y\/i{x)'' -p M\x) 



schreiben, wo M\x) höchstens vom Iw — 1 l-ten Grade ist. Wenn hier 



e^ = f^ = ■ • Cs — 1 . 



wird die Primzahl /> bekanntlich nicht in der Diskriminante D aufgehen. Wenn 

 es aber ein ei > 1 gibt, wird p ein Diskriminantenteiler. 



Wenn man die früher er\vähnten Sätze untersucht, wird man finden, 

 da6 die Primzahl p, die in diesen Sätzen auftritt, inuner ein Diskriminanten- 

 teiler ist. Dadurch wird später die Natur dieser Sätze erklärt. 



Oystzin- Ort.- Über hihere Kongrueazen. Norsk Mat. Forenings skrifter 1922. 



